Petit problème de probabilité

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Posted by: ElTopo

Bonjour, j'ai un travail à remettre en probabilités et il y a un certain numéro qui m'embête.

Il va comme suit:

Soit C l'ensemble chemins du point (0,0,0) du point (10,10,10) dans R³ = {(x,y,z)|x élément de R, y élément de R, z élément de R} dont chaun des pas unitaires permis est de type (0,0,1), (0,1,0) ou (1,0,0).

a) Combien y a-t-il de tels chemins?

Rép: 30! / 10!x10!x10!
= le nb de chemins total

b) Si un chemin dans C est choisi au hasard, quelle est la probabilité:

i) qu'il passe par le point (5,5,5)?

Rép: 15! / 5!x5!x5! sur le nb de chemins total (i.e. 30! / 10!x10!x10!)

ii) qu'il ne passe ni par (3,3,3) ni par (7,7,7)?

Rép: (le nb de chemins total - 9! / 3!x3!x3! - 21! / 7!x7!x7!) sur le nb de chemins total

c) Si on part du point (0,0,0) et on fait au hasard 30 pas unitaires de type (0,0,1), (0,1,0) ou (1,0,0), quelle est la probabilité d'aboutir au point (10,10,10)?

Rép: ???



Alors voilà, je suis assez certain pour les questions A et B (mais si vous pouvez vérifier, ça serait apprécié). Par contre, la question C me laisse complète à dépourvu.
Votre aide est très appréciée.


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par ElTopo
a) Combien y a-t-il de tels chemins?

Rép: 30! / 10!x10!x10!= le nb de chemins total

C'est cela, sauf que l'absence de parenthèse fait que ce n'est pas ça !
La réponse est : 30! / (10!x10!x10!)
Bon ! J'avais compris ! Mais mieux vaut attirer ton attention sur ces parenthèses indispensables.
Citation:
Posté par ElTopo
b) Si un chemin dans C est choisi au hasard, quelle est la probabilité:

i) qu'il passe par le point (5,5,5)?
Rép: 15! / 5!x5!x5! sur le nb de chemins total (i.e. 30! / 10!x10!x10!)

Je compterais le nombre de chemins allant de (0,0,0) à (5,5,5) : 15!/(5!x5!x5!) ET le nombre de chemins allant de (5,5,5) à (10,10,10) : 15!/(5!x5!x5!)
Ta réponse n'est donc pas correcte :
Réponse : Le nombre de chemins est : \Large (\frac{15!}{(5!)^3})^2 = \Large \frac{(15!)^2}{(5!)^6}
Ensuite, la probabilité,...
Citation:
Posté par ElTopo
Si un chemin dans C est choisi au hasard, quelle est la probabilité:
ii) qu'il ne passe ni par (3,3,3) ni par (7,7,7)?

Rép: (le nb de chemins total - 9! / 3!x3!x3! - 21! / 7!x7!x7!) sur le nb de chemins total

Moi, je compterais les chemins passant par (3,3,3) sans passer par (7,7,7), par (7,7,7) sans passer par (3,3,3) et ceux qui passent par (3,3,3) et par (7,7,7). Il suffit en fait d'ajouter les chemins passant par (3,3,3) et ceux qui passent par (7,7,7) et d'oter ceux qui passent à la fois par (3,3,3) et par (7,7,7) parce que je les aurais comptés deux fois !
\Large NC_3 = (\frac{9!}{(3!)^3})*(\frac{21!}{(7!)^3})
\Large NC_7 = (\frac{21!}{(7!)^3})*(\frac{9!}{(3!)^3})
\Large NC_{3 et 7} = (\frac{9!}{(3!)^3})\times (\frac{12!}{(4!)^3})\times (\frac{9!}{(3!)^3})
\Large NC_{3 OU 7} = 2\times (\frac{9!}{(3!)^3})*(\frac{21!}{(7!)^3}) - (\frac{9!}{(3!)^3})\times (\frac{12!}{(4!)^3})\times (\frac{9!}{(3!)^3})
\Large NC_{ni 3 ni 7}=\frac{30!}{(10!)^3}-[2\times (\frac{9!}{(3!)^3})*(\frac{21!}{(7!)^3}) - (\frac{9!}{(3!)^3})\times (\frac{12!}{(4!)^3})\times (\frac{9!}{(3!)^3})]
\Large NC_{ni 3 ni 7}=\frac{30!}{(10!)^3}-2\times (\frac{9!}{(3!)^3})*(\frac{21!}{(7!)^3}) + (\frac{9!}{(3!)^3})\times (\frac{12!}{(4!)^3})\times (\frac{9!}{(3!)^3})
\Large Prob(ni 3 ni 7)=\frac{\frac{30!}{(10!)^3}-2\times (\frac{9!}{(3!)^3})*(\frac{21!}{(7!)^3}) + (\frac{9!}{(3!)^3})\times (\frac{12!}{(4!)^3})\times (\frac{9!}{(3!)^3})}{\frac{30!}{(10!)^3}}
Je te laisse simplifier tout ça !
Citation:
Posté par ElTopo
c) Si on part du point (0,0,0) et on fait au hasard 30 pas unitaires de type (0,0,1), (0,1,0) ou (1,0,0), quelle est la probabilité d'aboutir au point (10,10,10)?

Rép: ???

Ici on a toute liberté pour un tirage aléatoire de 1 pas parmi 3, indépendamment des autres tirages. On peut faire donc \Large 3^{30} chemins différents. Parmi ces \Large 3^{30} chemins différents seuls \Large \frac{30!}{(10!)^3} d'entre eux mènent à (10,10,10) donc la probabilité d'arriver à (10,10,10) est de :
\Large \frac{(\frac{30!}{(10!)^3})}{(3^{30})}\approx 0.027 (sauf erreur !)










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