Mathématiques - petit problème pour férus de maths

petit problème pour férus de maths
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Posted by: Tonidog

Bonjour à tous,

mon professeur de seconde (il y a de ça qqs années donc) m'avait démontré un jour que :

1,9999999..... (des 9 à l'infini après la virgule)

était égal à 2.

Ceci avec une démonstration d'une dizaine de ligne, parfaitement correcte et plutôt logique (de mémoire). Je me souviens qu'on commençait par:

X= 0,9999999999....

et je ne me souviens plus de la suite. Cela me trotte dasn l'esprit depuis qqs temps et je n'arrive pas à retrouver la démonstration.

Quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci. Alexis.

Posted by: abcd22

Bonsoir !
En fait il suffit de montrer que X = 1. Pour cela on remarque que 10 X = 9,999999.... = 9 + X, et l'unique solution de 10 X = 9 + X est X = 1.

Posted by: Tonidog

Merci beaucoup !
vous m'otez d'un poids inimaginable.
ça n'était pas si dur que ce que je pensais pourtant...2 lignes suffisent !

Merci, et que vivent les maths !

Alexis.

Posted by: mon nom est personne

oui, mais il me semble qu'il y avait une autre démonstration... je vais me renseigner...

Posted by: abcd22

Oui, on peut aussi dire que $\displaystyle{0,9999999... = 9\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^n} = 9\times \frac{1}{10}\times \frac{1}{1-\frac{1}{10}} = 1}$ .

Posted by: yos

ou encore que |1-0,9999.....|=0.
ou encore qu'il n'y a pas de réels entre 0,9999... et 1.

Posted by: Patastronch

simple curiosité, est ce qu'on peut dire que 0,999....9998 existe ?
avec une infinité de 9 entre la virgule et le 8 final.

Posted by: yos

Citation:

Posté par Patastronch

simple curiosité, est ce qu'on peut dire que 0,999....9998 existe ?
avec une infinité de 9 entre la virgule et le 8 final.

Non car il n'y a pas de final.

Posted by: Alpha

Salut,

juste une remarque, la vraie définition de l'écriture d'un nombre en base $10$ est celle utilisée par abcd22 pour montrer que $0,9999999...=1$ .

En fait, quand nous écrivons les nombres sous la forme habituelle $a_{0},a_{1}a_{2}$ ..., sans le savoir, nous écrivons la somme d'une série. C'est d'ailleurs la seule définition rigoureuse justifiant cette écriture.

On peut même montrer, en utilisant les propriétés de $\mathbb{R}$ , que tout réel compris dans $[0,1[$ (et donc on généralise immédiatement à $\mathbb{R}$ ) admet un unique développement propre dans toute base $b \ge 2$ , c'est-à-dire qu'étant donné $x \in [0,1[$ et un entier $b \ge 2$ , il existe une unique suite $(a_{n})_{n \ge 1}$ , vérifiant :

-pour tout $i$ , $0 \le ai \le b-1$
-la suite $(a_{n})_{n \ge 1}$ n'est pas stationnaire à $b-1$ (c'est le caractère "propre" du développement)
- $\Large x = \sum_{i=1}^n \frac{a_{i}}{b^{i}}$ .

Dans le cas $b=10$ , cela s'appelle l'existence et l'unicité de développement décimal propre d'un réel, ce qui correpond à l'écriture $0,a_{1}a_{2}....$

Mais $0,99999....$ est le développement impropre du réel $1$ , car il est stationnaire à $b-1 = 10-1 =9$ . Ainsi, tous les nombres étant composés d'une infinité de 9 à partir d'un certain rang après la virgule se trouvent écrits dans leur développement impropre, et non dans leur développement propre. Ainsi, $0,358999999999... = 0,359$ ( $0,358999999999...$ : développement impropre , $0,359$ : développement propre).

Alpha+

Posted by: Temps

J'ai du mal à comprendre...

Posted by: julian

Et moi je n'y comprends même presque rien, hormis la fin!!!

Et ça me fait penser que des mathématiciens ont eu un prix il n'y a pas si longtemsp que ça pour avoir démontrer la "nature" des nombres entiers il me semble. Ca se rapporte peut-être du sujet , à moins que je sois totallement à côté de la plaque. Quelqu'un aurait-il des infos sur cette démonstration? Qu'elle soit abordable ou pas, juste histoire de voir de quelle manière ils s'y sont pris.

Cordialement.

Posted by: Temps

C'est quoi ça "la nature des nombres entiers"?

Posted by: Patastronch

Citation:

Posté par yos

Non car il n'y a pas de final.

Tu veux dire que :

0,999...9888...8 = 0.999...9 = 1
avec une infinité de 9 suivi d'une infinité de 8 pour le premier nombre.

?

Ou que tout simplement le nombre n'existe pas ? C'est plus ca ma question de départ.

Posted by: yos

Citation:

0,999...9888...8 = 0.999...9 = 1
avec une infinité de 9 suivie d'une infinité de 8 pour le premier nombre.

Les décimales sont ordonnées! Une fois que tu auras mis une infinité de 9, tu ne pourras plus rien mettre.

Posted by: Temps

On en peut pas mettre une infinité de 9...

Posted by: Patastronch

Citation:

Posté par yos

Les décimales sont ordonnées! Une fois que tu auras mis une infinité de 9, tu ne pourras plus rien mettre.

Et donc ca veut dire que le nombre existe ou qu'il n'existe pas ?

Citation:

Posté par Temps

On en peut pas mettre une infinité de 9...

Oui c est une question de bon sens, mais je demande pas si on peut l'ecrire ou pas.

Bon un exemple plus clair :

Je définit le nombre X de lamaniere suivante :
Un zero suivit d'une virgule qsuivit de N 9 suivit d'un 8

Pour N fixé mais quelconque on a bien :

0,999...98<0,999...99

Mais pour N qui tends vers l'infinie vous me dites que l'inégalité ne deviens plus vrai car mon nombre n'existe plus.Pourtant il est parfaitemetn définit, que le 8 n'apparaisse jamais c'est une question de bon sens mais ca n'implique pas la non existance du nombre pour moi. Y a un truc qui m'echappe.

En fait ma question serait plus : est ce que définir un nombre suffit a prouver son existance sinon pourquoi ?

Posted by: Alpha

Salut, Patastronch,

le "nombre" 0,999999.....88888... n'a pas de sens! Pour que tu t'en rendes comptes, il faut que tu fasses attention à ce que veut dire "une infinité de..." Ici, la seule signification de "une infinité de 9", est, conformément à l'intuition, que quel que soit le rang N auquel tu te places après la virgule, pour tout n supérieur ou égal à N, le n-ième chiffre après la virgule est un 9. Donc il est impossible qu'à partir d'un certain rang, il y ait un 8! Comment veux-tu avoir une infinité de 9 qui se succèdent, puis ensuite une infinité de 8 ou même un seul 8?

Bien cordialement,

Alpha

Posted by: Patastronch

parceque tu trouves qu'un nombre transcendant a plus de sens ? Explique moi la différence entre les deux stp ... Non je suis pas convaincu encore, enfin l'argument "y a trop de '9' devant ton '8' " je trouve ca trop leger surtout, ou alors justifiez moi en quoi un transcendant est plus crédible qu'un tel nombre.

Si je ne m'abuse il y a bien une infinité de '1' avant le dernier '2' dans le nombre pi ? (attention je ne dis pas qu'il existe un dernier '2', de la meme maniere que je ne dis pas que mon dernier '8' existe, mais mais je ne vois pas en quoi un nombre parfaitement définit ne puisse pas exister. Le nombre de Chaitin est parfaitement définit et pourtant incalculable, mais cela ne signifit pas qu'il n'existe pas.)

Pour ma part 0,999...98 = 0,999...99 mais uniquement parceque ma définition est en réalité celle de 0,999...99 (enfin pour ma part). Mais ce n'estp as parcequ'une propriété ne se vérifit pas qu'elle est fausse ou qu'elle implique l'inexistance de cette propriété ou du nombre (toujours a mon humble avis).

Posted by: abcd22

Quel est le rapport avec les nombres transcendants ? Un nombre transcendant est un nombre qui n'est racine d'aucun polynôme, on peut très bien en définir (Pi peut être défini comme le rapport entre le périmètre et le rayon d'un cercle quelconque, e comme le nombre tel que ln(e) = 1)... Par contre les nombres dont tu parles n'existent pas tout simplement parce que ce que tu dis n'a pas de sens !

Citation:

Posté par Patastronch

Si je ne m'abuse il y a bien une infinité de '1' avant le dernier '2' dans le nombre pi ? (attention je ne dis pas qu'il existe un dernier '2', de la meme maniere que je ne dis pas que mon dernier '8' existe, mais mais je ne vois pas en quoi un nombre parfaitement définit ne puisse pas exister. Le nombre de Chaitin est parfaitement définit et pourtant incalculable, mais cela ne signifit pas qu'il n'existe pas.)

Ben justement, le « dernier 2 » et le « 8 » n'existent pas, tu ne peux pas dire que ton nombre est parfaitement défini alors que tu fais intervenir des choses qui n'existent pas dans sa définition ! La phrase « il y a bien une infinité de '1' avant le dernier '2' dans le nombre pi » n'a pas de sens puisqu'il n'y a pas de dernier 2 dans le nombre pi, tu peux dire qu'il y a une infinité de 1 et une infinité de 2 dans le nombre pi, mais pas parler du « dernier », et si tu prends n'importe quel 2 du nombre pi il y aura toujours un nombre fini de 1 avant.

Posted by: Alpha

Salut Patastronch, je rejoins évidemment ce que dit abcd22, et je t'invite à relire avec plus d'attention ce que j'ai écrit... Et d'y réfléchir...

Alpha

PS : Tu es en quelle classe Patastronch?

Posted by: nuage

Salut,
Une discussion qui semble prête à dériver sur la distinction entre cardinal et ordinal dans le cas infini.

Posted by: Patastronch

Citation:

Posté par abcd22

Oui on est d'accord, c'est exactement pour ca que je faisais un parallèle avec les nombres transcendent. A ce que je sache une propriété est bonne si aucun exemple ne peut la contredire, ce qui est le cas ici avec le dernier 8 ou le dernier 2 de pi. Enfin bon le débat tourne en rond car on retombe dans les memes arguments à chaque fois. Pour ma part une surdéfinition d'une définition déjà "complète" reste équivalente à la définition déjà "complète". C'est pour cela que je disais que 0,99999...98=0,999...99, car le 8 viens surdéfinir le nombre alors qu'il était deja parfaitement défini. Mais cela n'empeche pas de dire que 0,9999...98 existe, ou alors justement, il s'agissait de ma question : Définir un nombre suffit il à prouver son existance ?

Citation:

Posté par Alpha

je t'invite à relire avec plus d'attention ce que j'ai écrit... Et d'y réfléchir...

Oui j'ai bien compris ce que tu as dit (d'ailleur tu as mis superieur au lieu de inferieur), mais comme je te le disais je ne suis pas convaincu par cet argument, ce n'est pas parceque le dernier 8 n'apparait pas que la définition du nombre que j'ai donné conduit à un nombre qui n'existe pas. Enfin bon j'ai un peu de mal a expliquer ce que je veux dire tant la notion est fine.

Citation:

Posté par Alpha

PS : Tu es en quelle classe Patastronch?

Je ne fais pas des maths si c'etait ce que tu voulais savoir.

Posted by: Alpha

Citation:

Posté par Patastronch

Oui j'ai bien compris ce que tu as dit (d'ailleur tu as mis superieur au lieu de inferieur)

Pas du tout!!! C'est bien la preuve que tu n'as pas compris! C'est supérieur, et certainement pas inférieur! Et c'est essentiel d'avoir compris que c'est supérieur. C'est en ce sens qu'on parle d'infini. Réfléchis bien, et tu verras que le seul sens que peut avoir "une infinité de 9 se succédant" est ici celui que j'ai donné.

Cordialement, Alpha

Posted by: Patastronch

Alors c'est toi qui a pas compris mon N. Meme si N tends vers l'infini, tous rang superieur à N (en supposant qu'il existe un rang superieur à N mais là n'est pas ma question) correspond à un 8. C'est la définition du nombre que j'ai donné ainsi qu'à mon N.

Posted by: Alpha

Là, j'avoue ne plus rien comprendre. Tu as dit qu'il y avait une infinité de 9 qui se succédaient, et, en donnant la signification de cela, j'ai montré qu'il ne pouvait y avoir de 8 dans ton nombre. Maintenant, tu me dis qu'il y a des 8 après les 9, ce qui contredit le fait qu'il y ait une infinité de 9. Et je ne comprends pas non plus ce que tu entends par "en supposant qu'il y ait un rang supérieur à N". Il y a toujours un rang supérieur à N! (le rang N+1 par exemple...)

Cordialement, Alpha

Posted by: Patastronch

Car N tends vers plus l'infinie, ce qui traduit l'infinité de 9 avant le 8.

Posted by: Alpha

J'aimerais bien que tu précises davantage ce que tu veux dire, car pour l'instant je ne vois pas le sens qu'a ce dont tu parles.

Merci.

Alpha

Posted by: Temps

Est-ce que à un endroit, l'infini peut ne pas exister?

Posted by: mon nom est personne

tout est relatif

Posted by: mon nom est personne

... sauf l'infini (qui est absolu), mais s'il n'existe pas...

Posted by: Patastronch

Citation:

Posté par Alpha

J'aimerais bien que tu précises davantage ce que tu veux dire, car pour l'instant je ne vois pas le sens qu'a ce dont tu parles.

Merci.

Alpha

L'exemple est surment tres mauvais vu que personne ne semble comprendre ce que je veux dire, mais ma question de base reste toujours :

Définir un nombre suffit-il à prouver son existance ?

Bon de toute facon c'etait plus une boutade qu'autre chose ce que je demandais, je m'attendais pas a ce qu'on se prenne autant la tete la dessus.
Je vous remercis d'avoir participé a ce "débat" car moi même j'ai compris des trucs, en m'expliquant, qui n'étaient pas tres clair deja dans ma tete.

Voila ce que je pense apres ce qui a été dit :
--> La définition d'un nombre est une preuve d'existance (ex : le nombre de chaitin, le fameux 0,999...98)
--> Une surdéfinition d'un nombre qui a une définition déjà "complète" est équivalente à la définition déjà "complète" (ex : 0,999...98=0,999...99 car la définition de 0,999...98 n'apporte rien de plus a la définition de 0,999...99)

Posted by: nuage

Salut,
Un nombre érit en décimal est une somme, éventuellement infinie.
Par exemple 1,22222... avec une infinité de 2 est égal à $\displaystyle1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{10^n}$ .
Tous les entiers sont alors utilisés et on ne peut pas rajouter un chiffre "à la fin" car il n'y a pas d'exposant disponible.
Les chiffres aprés la vigule ont le même ordinal que N muni de son ordre habituel.
Mais on peut utiliser d'autres ordinaux, correspondant à des ordres différents (par exemple en rangeant les entiers dans l'ordre alphabetique, le dernier est zéro avec une infinité de valeurs avant.)
Mais ce type d'ordre n'est pas utilisé dans l'écriture décimale.
Une dernière remarque : quand on dit "n tend vers l'infini" le nombre n reste toujours fini.

Posted by: leibniz

Citation:

Posté par mon nom est personne

... sauf l'infini (qui est absolu), mais s'il n'existe pas...

Tu es sûr? Et si on effectue un changement de variable t=1/infini , ton infini n'est qu'un zéro pour moi

Posted by: mon nom est personne

"zéro est également absolu", pensè-je

Posted by: mon nom est personne

Citation:

Posté par Tonidog

Bonjour à tous,

mon professeur de seconde (il y a de ça qqs années donc) m'avait démontré un jour que :

1,9999999..... (des 9 à l'infini après la virgule)

était égal à 2.

Ceci avec une démonstration d'une dizaine de ligne, parfaitement correcte et plutôt logique (de mémoire). Je me souviens qu'on commençait par:

X= 0,9999999999....

et je ne me souviens plus de la suite. Cela me trotte dasn l'esprit depuis qqs temps et je n'arrive pas à retrouver la démonstration.

Quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci. Alexis.

ça tient en deux lignes : 1/9=0,1111...
par le produit en croix (ou la règle de trois), 0,999...=1. donc, 1,999...=2.
voilà. Tschüs !