Petit probleme sur les polynomes

[Anonyme]

bonjour à tous
j'ai un petit exercice que je n'ai pas pu résoudre:
il est sur les polynomes!
A , B sont des polynomes et X est l'indetérminée.
on a:

/X(A'B-AB')+X(A²-B²)+aAB=O (1)/ tel que A' est le polynomes dérivé. a est un réél et O est le polynome nul.
on se propose d'étudier les couples (A,B) de polynomes réels,premiers entre eux et vérifiant la relation précedente.
on suppose q'un tel couple existe. Montrer alors:
a) X divise un et un seul des polynomes A ou B.
b) deg A=deg B. et les coeficients dominants de A et B sont égaux ou opposés.
c)si X divise B alors B-A' est divisible par A, et donc s'écrit : B-A'=(eps)A
avec ( eps = + ou - 1)
d) En supposant toujours que X divise B, prouver alors que la relation (1)
peut successivement s'écrire:
(2)X(A-B')+aB=(eps)XB
(3)X(2epsA'+A'')=a(epsA+A') ( A" dérivéé seconde)
deduire de cette derniere relation que a=2n oû n=degA.

merci.

[Anonyme]

alors y a personne pour m'aider???
si jamais vous n'avez pas compris ma question faites moi signe ...

[abcd22]

Pour la question a), si un couple (A,B) est solution, on a
, comme X divise le membre de gauche il divise aussi celui de droite, donc il divise A ou B. Comme on a aussi supposé A et B premiers entre eux, X divise un seul de ces deux polynômes.
Pour le b, si on suppose par exemple deg A > deg B, dans l'égalité que j'ai écrite, le degré du membre de droite est deg A + deg B, celui du membre de gauche est , or , on en déduit que , on doit donc avoir , ce qui est impossible.
Le coefficient dominant du polynôme est nul, sinon on aurait un terme de degré 2deg A +1 (=2deg B + 1), ce qui est impossible car tous les autres termes de la somme sont de degré inférieur ou égal à 2 deg A.

[abcd22]

Pour le c), à partir de (1) on peut écrire XB(B-A')=A(...), A est premier avec B et avec X donc il divise B-A'. Justifier que B-A' = epsA avec les résultats du b).
Pour le d) il faut transformer l'égalité en utilisant le c)...