Petit problème de moyenne

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Posted by: damius

Bonjour tout le monde, j'ai depuis quelques temps un problème qui me court dans la tête, je vais essayer de l'énoncer clairement:
Vous prenez un dé ayant 20 faces. Quand vous le tirez vous comprenez aisément que le résultat qu'on peut obtenir peut aller de 1 à 20 et que la moyenne se situe a 10,5.
La ou les choses se compliquent c'est quand on relance, qu'on fait 10 et qu'on aditionne le résultat à ce 10. Ex: je fais 10, je relance, je fais 15, ce qui me donne 25. Bien sur, si on refait 10, on relance encore et on peut aller a + infini avec infiniment de chance.
Ensuite, on suit le même raisonnement pour les 20 (je relance après un 20 et j'aditionne à 20). La aussi on peut aller à + infini "deux fois plus rapidement" (même si ça veut rien dire je sais lol).
Pour finir, on combine les 2, c'est à dire qu'on relance sur 10 et 20.
Ma question est la suivante: Peut-on déterminer une moyenne aux résultats d'un dé subissant ces règles?
Je pense qu'on ne peut arriver à la déterminer avec précision puisque les décimales seraient infinies. Si vous pouviez m'aider à trouver la moyenne au centième voire au millième je vous en serais très reconnaissant.

J'ai déja commencé des "recherches" là dessus, je vous les exposerais après vos messages car ça commence à faire un peu lon la lol.

MERCI!!!


Posted by: scelerat

Si je comprends bien, dans un cas sur 10 (un 10 ou un 20), on recommence et on ajoute le nouveau resultat avant de calculer la moyenne.

Quand on fait ce deuxieme tirage, on est avec les memes regles qu'au premier, donc la moyenne attendue est la meme que pour le premier.

M = 10.5 + 1/10 . M
M = 105/9 = 11.66666....


Posted by: damius

Oui, apparemment ce que tu dis est juste.
Moi j'avais fait 1+2+3+4+5+6+7+8+9+11.11+11+12+13+14+15+16+17+18+19 +31.11 le tout sur 20 mais je pense que c'est une mauvaise logique (je trouve 11,61 de moyenne).
T'as pas une idée sur la moyenne du dé avec une relance que sur 10?


Posted by: damius

Lol, plus je réfléchis plus je doute de ton résultat, peut-être à tort. Des fois je trouve que c'est logique, d'autres fois non.
J'ai tiré 2000 jets de dés avec des potes (on est des rolistes) et on obtient une moyenne de 11,44. Certes ça n'est qu'a 0,22 de ta moyenne "théorique" mais obtenir 0,22 d'écart avec 2000 jets je trouve que c'est énorme (ou alors on a pas de pot).
Finalement je pense que ton raisonnement est juste lol.


Posted by: scelerat

En ne relancant que sur le 10, on a M = 210/19 = 11.0526315...

D'autre part, si je ne me suis pas trompe dans mes calculs, quand tu fais 2000 tirages, l'ecart-type de la moyenne empirique est de l'ordre de 0.13, donc 0.22 d'ecart n'a rien de surprenant, tu dois meme avoir dans les 1 chance sur 4 ou 5 d'avoir plus.
Avez-vous conserve la trace de tous les tirages ? Si oui, en comptant tous les lancers sans tenir compte de savoir si c'e sont des premiers, ou deuxiemes ou plus apres un 10 ou un 20, quelle moyenne obtenez-vous par rapport aux 10.5 theoriques ?


Posted by: damius

Non, désolé on n'a pas laissé une trace écrite que les 35 par exemple sont en fait un 10 et 10 et 15 ou un 20 et 15.
D'accord je retiendrais donc que la moyenne d'une relance uniquement sur 10 est 11,05 et la moyenne sur une relance sur 10 et 20 est 11,666.
Je suppose aussi que quand, sur un 20, la moitié des fois on ne relance pas on obtient une moyenne de (11,666+11,05)/2. T'es d'accord?


Posted by: damius

Est ce que je pourrais aussi savoir comment se calcule ton écart-type de 0,13? Merci


Posted by: scelerat

Citation:
Posté par damius
Non, désolé on n'a pas laissé une trace écrite que les 35 par exemple sont en fait un 10 et 10 et 15 ou un 20 et 15.
D'accord je retiendrais donc que la moyenne d'une relance uniquement sur 10 est 11,05 et la moyenne sur une relance sur 10 et 20 est 11,666.
Je suppose aussi que quand, sur un 20, la moitié des fois on ne relance pas on obtient une moyenne de (11,666+11,05)/2. T'es d'accord?


Presque.
M = 210 / (20-n) ou n est le nombre de cas ou on relance. Donc pour n = un et demi, M = 210 / 18.5 = 11.35135135....
Un peu different de 11.359649122...


Posted by: scelerat

Citation:
Posté par damius
Est ce que je pourrais aussi savoir comment se calcule ton écart-type de 0,13? Merci


J'ai calcule sans faire de relance.
La variance pour un lancer est alors \frac{\sum_{i=1}^{i=20} (i-10.5)^2}{19} = 35, et l'ecart-type pour 2000 lancers de \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{2000}}.

En fait, quand on rejoue, on augmente la variance et on doit donc avoir nettement plus de 0.13.










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