Mathématiques - Un petit problème de limite

Un petit problème de limite
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Posted by: mirabobo

Bonjour, je suis élève à Dauphine en DUGEAD.
J'ai acheté un livre de maths qui correspond plus ou moins au programme de cette année. J'ai pu faire tout les exos concernant les limites assez facilement (avec mon bac S en poche) mais l'auteur du livre semble avoir une manière plus rapide de les faire, et celui-ci ne précise pas certaines étapes:

Soit $f(x)=x-sqrt(x^2-x)$

Déterminer la limite en + l'infini

Je multiplie par la forme conjuguée ce qui me donne

$\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x+sqrt(x^2-x)}$

Moi je met le x² en facteur etc. et je me retrouve avec $\frac{1}{1+sqrt(1+\frac{1}{x})}$ donc $\lim_{x\to+\infty} f(x)=1/2$

Je trouve la même chose que le livre mais il y a une étape que je ne comprends pas, voilà ce qui est marqué:

$\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x+sqrt(x^2-x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$

Pouvez vous m'expliquer comment il arrive à $\frac{x}{2x}$ ??

Il fait la même chose pour des limites légèrement plus compliquées par exemple:

$\lim_{x \to +\infty}\frac{-x+2}{[(4x+1)(x-2)][sqrt(2x+5)+sqrt(3x+3)]}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x}{4sqrt6x^3}=$ 0

Pour éviter les formes indeterminées je mets en facteur des x etc.

Désolé pour l'écriture un peu barbare.
edit: merci TEX

Merci d'avance

Posted by: Sdec25

Salut
On trouve 1/2x car $3$ \frac 1 {x+\sqrt {x^2-x}} = \frac 1 {x(1+\sqrt{1-1/x})}$ équivaut à 1/2x au voisinage de l'infini

Posted by: mirabobo

Ok merci je comprends mieux, et pour l'autre limite?

Posted by: Sdec25

La limite de $3$ \frac{-x+2}{(4x+1)(x-2)(\sqrt{2x+5}+\sqrt{3x+3})}$ vaut 0, ce n'est pas une forme indéterminée.

Posted by: mirabobo

Oui, les (x-2) s'annulent et donc à la fin on trouve " $\frac {-1}{+\infty}$ =0", mais ce que je n'ai pas compris c'est pourquoi il y a marqué:

$\lim_{x \to +\infty}\frac{-x+2}{[(4x+1)(x-2)][sqrt(2x+5)+sqrt(3x+3)]}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x}{4sqrt6x^3}=$ 0

Tex est simple à utiliser en fait, du moment qu'on connaît les formules. ^^

Merci d'avance.

Posted by: Sdec25

Le 2ème membre est l'équivalent du premier :
-x+2 équivaut à -x (au voisinage de l'infini)
Pour l'équivalent de dénominateur, multiplie les x de + haut degré et tu trouveras $3$ 4x \times x \times (\sqrt{2x}+\sqrt{3x})$ ce qui n'est pas la même chose que ce qu'il y a écrit, donc c'est un * au lieu d'un + dans le dernier terme.

Posted by: mirabobo

Merci encore. ^^

Pourtant au départ la limite c'est:

$\lim_{x\to+\infty}\frac{sqrt(2x+5)-sqrt(3x+3)}{(4x+1)(x-2)}$
Donc il y a une erreur dans le livre...