Mathématiques - Un petit exercice sur les endomorphismes niveau MPSI

Un petit exercice sur les endomorphismes niveau MPSI
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Posted by: pouik

Bonjour,
pourriez vous m'aider à résoudre l'exercice suivant sur lequel je sèche complètement. Merci d'avance pour votre aide.

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie (avec $K = R$ ou $C$ ). On dit que deux endomorphismes $a$ et $b$ de $E$ vérifient les condition $(C)$ si l'on a :
$a \circ b \circ a = a (1)$
$b \circ a \circ b = b (2)$
$a \circ b = b \circ a (3)$

Soit $a$ un endomorphisme de $E$ . On cherche une condition nécessaire et suffisante sur $a$ pour qu'il existe un endomorphisme $b$ satisfaisant aux conditions $(C)$ (on dira que $b$ est un pseudo-inverse de $a$ ).
1. On suppose que $a$ admet un pseudo-inverse $b$ . Montrer que $Ker(a^2) = Ker a$ , puis que $E = Ker a \oplus Im a$ .
2. Réciproquement, on suppose que $E = Ker a \oplus Im a$ . On note $u$ l'endomorphisme induit par $a$ sur $Im a$ (c'est-à-dire l'endomorphisme de $Im a$ défini par $\forall x \in Im a, u(x) = a(x)$ ).
a. Montrer que $u$ est un automorphisme de l'espace vectoriel $Im a$ .
b. On suppose que $a$ admet un psuedo-inverse $b$ . Que vaut alors $b(x)$ lorsque $x \in Ker a$ ? Montrer que, si $x \in Im a$ , on a $b(x) = u^{-1}(x)$ .
c. En déduire que $a$ admet un unique pseudo-inverse.

Posted by: Rain'

qu'as-tu fait ? Pour la première fais le par double inclusion, y en a une qui est évidente.

Posted by: pouik

*Soit $x \in Ker a$ , donc $a(x) = 0$ donc $a \circ a (x) = a(0) = 0$ , soit $a^2(x) = 0$ ,
d'où $x \in Ker a^2$ donc $Ker a C Ker a^2$

*Soit $x \in Ker a^2$ , donc $a^2(x) = 0$ donc $b \circ a \circ a (x) = b(0) = 0$ ,
donc d'après $(3)$ $a \circ b \circ a (x) = 0$ , soit d'après $(1)$ $a(x) = 0$ donc $x \in Ker a$
soit $Ker a^2 C Ker a$
donc finalement $Ker a^2 = Ker a$

Est ce correct ??

Posted by: Rain'

Tout à fait.

Une idée pour la suivante ?

Posted by: pouik

Désolé pas d'idées pour la somme directe...

Posted by: Rain'

D'après le théorème du rang on a l'égalité des dimensions.

Suffit donc de montrer que x € Ker a inter Im a => x=0

suffit de prendre un tel x, d'écrire les propriétés qu'on en connaît et utiliser les propriétés du pseudo inverse.

Posted by: pouik

Donc si je comprends bien $dim E = dim Ker a + dim Im a$ se subsitute à $E = Ker a + Im a$ ??

Posted by: Rain'

Il se substitue pas, mais si on a l'intersection réduite à {0}, on a la somme directe.

Posted by: pouik

Citation:

Posté par Rain'

Il se substitue pas, mais si on a l'intersection réduite à {0}, on a la somme directe.

mais donc quand je veux demontrer une somme directe je peux soit montrer la somme + intersection réduite à {0} soit montrer l'égalité au niveau des dimensions + intersection reduite à {0}.

C'est bien ca ?? si j'ai compris.

Posted by: Rain'

oui .

Posted by: pouik

d'accord et est-ce que ce theoreme porte un nom particulier ?? si on peut parler de theoreme !!

Posted by: Rain'

Non, c'est une propriété utile qu'on démontre mais elle porte pas de nom spécial à ma connaissance.

Posted by: pouik

Ok,
donc soit $x \in Ker a \inter Im a$ .
donc on a à la fois :
$a(x) = 0$
$\exists y \in E, x = a(y)$

mais après je vois pas trop quoi faire, j'ai pensé à composer par $b$ mais on arrivera jamais à montrer que $x = 0$ comme ca ! enfin je crois...

Posted by: Rain'

Pour parvenir à x = 0, suffit de montrer que a(y) = 0 .

Je te propose de composer par ba, l'égalité a(y) = x

Posted by: pouik

$b \circ a (x) = b \circ a \circ a (y)$
$b(0) = a \circ b \circ a (y)$
$0 = a(y)$

Non ??

Posted by: Rain'

oui, or a(y) = x donc x = 0 cqfd.

Posted by: pouik

J'ai vraiment aucune idée pour résoudre la question 2.a. !

Pourriez-vous me donner une petite piste ?

Posted by: Rain'

C'est quoi un automorphisme ? Y a juste à vérifier les axiomes.

Posted by: pouik

1 automorphisme est un endomorphisme bijectif.
Okay pour le coté endomorphisme et pour bijectif, il faut que :
$Ker a = {0}$ (injectivité)
et $Im a = E$ (surjectivité),
mais je vois pas comment on vérifie ici ces deux conditions...

Posted by: Rain'

Simplement en vérifiant que la définition est respectée.

Posted by: pouik

Bonjour,
Désolé mais je ne vois pas comment vérifier que l'on a $Ker a =\{0\}$ et $Im a = E$ ....

Pourriez vous m'aider ?

merci d'avance.

Posted by: Rain'

Injectivité : Suffit de montrer Ker u = {0}

Soit x dans Ker u => u(x) = 0 => a(x) = 0 et x dans Im(a). Or a(x) = 0 => x est dans Ker a.

Or Im a et Ker a sont en somme directe par hypothèse donc x = 0

Donc Ker u = 0

Surjectivité : u est un endo injectif donc bijectif. cqfd

Posted by: pouik

Citation:

Posté par Rain'

Injectivité : Suffit de montrer Ker u = {0}

Soit x dans Ker u => u(x) = 0 => a(x) = 0 et x dans Im(a). Or a(x) = 0 => x est dans Ker a.

Or Im a et Ker a sont en somme directe par hypothèse donc x = 0

Donc Ker u = 0

Surjectivité : u est un endo injectif donc bijectif. cqfd

Désolé mais je ne comprends pas bien pourquoi on n'a pas à démontrer la surjectivité ??

Posted by: Rain'

C'est une propriété du cours pour un endomorphisme:

injectivité <=> bijectivité <=> surjectivité.

C'est une conséquence du théorème du rang.

dim E = dim Ker u + rg u.

En effet l'injectivité <=> dim Ker u = 0

la surjectivité <=> rg u = dim F.

Or c'est un endo donc l'espace d'arrivée est le même que celui de départ Ici E=F.

Posted by: pouik

Okay merci je savais pas.

Pour la question suivante :
Soit $x \in Ker a$ et $b$ le psuedo-inverse de $a$ .
On a alors :
$a(x) = 0$
soit : $b \circ a (x) = b(0) = 0$
soit d'après (3) : $a \circ b(x) = 0$
soit : $b \circ a \circ b(x) = b(0) = 0$
donc d'après (2) : $b(x) = 0$

Non ??

Posted by: Rain'

Oui, y avait vraiment besoin d'une confirmation ?

Posted by: pouik

Citation:

Posté par Rain'

Oui, y avait vraiment besoin d'une confirmation ?

On est jamais trop sûr...

Sinon pour l'autre partie de la question je ne vois pas comment exploiter $a(x) = u(x)$
J'arrive juste à trouver que $b(x) = a \circ b \circ u(x)$

Posted by: pouik

Bonjour,
je bloque désespérément sur cette dernière partie de la question b. : je ne vois pas du tout comment faire apparaitre $u^{-1}(x)$ ....

je vous remercie d'avance pour votre aide.

Posted by: Rain'

Soit x dans Im(a)

Montrons que b(x) = u^-1(x).

On a a(x) = u(x) et u^-1 existe.

De plus aba(x) = a(x) donc
abu(x) = u(x). On compose à droite par u^-1 ainsi

ab(x) = x.

Montrons que ab(x) = ub(x) i e b(x) appartient à Im(a).

En effet si on montre ceci on pourra écrire ub(x) = x et composer à gauche par u^-1 pour obtenir b(x) = u^-1(x).

Il suffit donc de montrer que b(x) appartient à Im(a).
i e il existe y tel que a(y) = b(x).

Posons y = b(b(x)).

a(y) = a(b(b(x))) = b(a(b(x))) par (3) = b(x) par (2) . cqfd. Ainsi b(x) appartient à Im(a) et on peut composer par u^-1.

Posted by: pouik

Merci,
mais je ne comprneds pas pourquoi on peut déduire que :

Citation:

Posté par Rain'

Soit x dans Im(a)

Montrons que b(x) = u^-1(x).

On a a(x) = u(x) et u^-1 existe.

De plus aba(x) = a(x) donc
abu(x) = u(x). On compose à droite par u^-1 ainsi

ab(x) = x.

Montrons que ab(x) = ub(x) i e b(x) appartient à Im(a).

En effet si on montre ceci on pourra écrire ub(x) = x et composer à gauche par u^-1 pour obtenir b(x) = u^-1(x).

Il suffit donc de montrer que b(x) appartient à Im(a).
i e il existe y tel que a(y) = b(x).

Posons y = b(b(x)).

a(y) = a(b(b(x))) = b(a(b(x))) par (3) = b(x) par (2) . cqfd. Ainsi b(x) appartient à Im(a) et on peut composer par u^-1.

Posted by: Rain'

C'était quoi la question précédente ?

Posted by: pouik

Citation:

Posté par Rain'

C'était quoi la question précédente ?

Vous parlez de la question précédente de l'ennoncé ?? je ne comprends pas bien...

Posted by: Rain'

Tu me demandes pourquoi on peut dire que u^-1 existe alors que la question précédente était de montrer que u est un automorphisme qui est un endomorphisme bijectif, et bijectif ça veut dire que u^-1 existe.

Posted by: pouik

Citation:

Posté par Rain'

Tu me demandes pourquoi on peut dire que u^-1 existe alors que la question précédente était de montrer que u est un automorphisme qui est un endomorphisme bijectif, et bijectif ça veut dire que u^-1 existe.

Oh la bourde !!

vraiment désolé pour ce bref moment d'inattention..;

Et arrivé là, comment fait-on pour déduire que b est unique ?! je suis un peu perdu

Posted by: Rain'

En montrant que b est totalement défini sur des espaces supplémentaires. A savoir que pour tout x dans Ker a il existe un unique y tel que b(x) = y et de même pour x dans Im(a).

Bref c'est fini, suffit de répéter les dernières questions

Posted by: pouik

Merci beaucoup vous m'avez vraiment aidez.

mais puis-je me permettre d'abusez encore un peu de votre gentillesse en vous soumettant 4 petites dernières questions.
Merci d'avance.

On note $a'$ l'unique pseudo-inverse de $a$ .
1. Déterminer $a'$ si $a \in GL(E)$ .
2. Déterminer $a'$ si $a$ est un projecteur.
3. Déterminer $a'$ si $a = \lambda p$ avec $\lambda \in K^*$ et $p$ projecteur.
4. Si $a$ admet un pseudo-inverse $a'$ , montrer que $a'$ admet aussi un pseudo-inverse et préciser $(a')'$ .

Pour la 1. je pense que $a' = a^{-1}$ , en tout cas ca marche bien mais je vois pas comment le démontrer...

Posted by: Rain'

Tu connais a' si Ker a et Im a sont supplémentaires dans E d'après la première partie.

Ca tombe bien car dans les questions posées c'est toujours le cas.

Posted by: pouik

d'après b. $a' = a^{-1}$

non ??

Posted by: Rain'

oui .

Posted by: pouik

Pour la 2. je pense qu'il doit y avoir un lien avec la question 1. car on a $Ker (a^2) = Ker a$ qui fait penser au $p \circ p = p$ d'un projecteur, mais je vois pas bien le rapport...

Posted by: Rain'

et si a' valait a ?

Posted by: pouik

Citation:

Posté par Rain'

et si a' valait a ?

désolé mais là je ne comprends pas très bien.

Posted by: Rain'

Est ce que si tu poses a' = a les axiomes sont vérifiés pour un projecteur ?

Posted by: pouik

oui mais c'est pas un peu artificiel comme réponse ?? ou est-ce que du fait de l'unicité c'est gagné ?

Posted by: Rain'

Tu as montré que si Ker a et Im a sont supplémentaires, il y a un pseudo inverse unique. Si tu as un projecteur, tu sais que Ker a et Im a sont supplémentaires et tu trouves un candidat convenable et tu montres qu'il convient.

Donc c'est le seul. Ou est ce que ça va pas ? Bon bien sur faut justifier chaque étape.

De toute manière la première partie te permet de définir totalement le pseudo inverse. Dans la seconde tu as juste à la reconnaître c'est tout dans des cas particuliers.

Posted by: pouik

pour le 3., je dirais avec les mêmes arguments que vous venez de précdiser que :
$a' = \frac{1}{\lambda} a$

non ?? sinon pas besoin de justifications supplémentaires par rapport à votre dernier poste ?

Posted by: pouik

Bonjour,
en fait pour la 3., je trouve $a' = \frac{1}{\lambda}p$ . Correct ??

Sinon pourriez vous m'aider pour le 4. car j'ai boh me creuser les meninges je n'y arrive pas du tout....

Merci d'avance pour votre aide.