Mathématiques - Petit jeu des 3 portes

Petit jeu des 3 portes
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Posted by: Sve@r

Bonjour à tous - J'ai juste un petit jeu que je trouve sympa à vous faire partager et que j'ai décliné en 3 jeux indépendants selon 3 règles

Un homme arrive devant 3 portes. Derrière l'une d'elle il y a un trésor et on lui demande de choisir celle qu'il ouvrira. Il choisit donc une des portes (mais sans l'ouvrir).

Jeu n° 1: Après qu'il ait choisi, le maître du jeu (qui connait l'emplacement du trésor) retire des possibilités une des deux mauvaises portes restantes

Jeu n° 2: Le maitre du jeu choisi de son coté la mauvaise porte qu'il décidera de retirer des possibilités offertes et, après que le candidat ait choisi sa porte, lui annonce quelle porte a été retirée

Jeu n° 3: Le maitre du jeu choisi de son coté la mauvaise porte qu'il décidera de retirer et l'annonce de suite à l'homme avant qu'il fasse son choix

Etude: Dans chacun des trois cas, l'homme a maintenant le droit de changer son choix. A-t-il avantage à le faire ???

Posted by: Monsieur23

Bonjour.

Pour le 1, oui clairement.

Pour le 2, ça dépend, si l'homme avait choisi la porte que le maître enlève, oui il a intérêt à changer. Sinon, je ne pense pas.

Pour le 3, j'suis pas sûr de comprendre.
Le maître enlève une porte, et après seulement l'homme fait son choix ?
Il peut pas changer, puisqu'il avait rien choisi, non ?

Posted by: nightwatch

Salutations!

Pour les trois portes, quelques références, en fait ce petit jeu des 3 portes est sorti si on veut dans la rubrique Ask Marylin de Marilyn vos Savant du Parade Magazine en septembre 1990.
Ref: ici

et pour La Dame au gros QI, ref: Là

Je ne donne pas la solution la connaissant déjà. bonne journée à tous!

P.S. une des premières apparitions de ce problème date de 1898 dans Probabilités de Calcul de Joseph Bertrand où il est décrit comme le paradoxe de la boîte de Bertrand . Ce problème est ensuite réapparu sous diverses versions dont l'un des plus connue est celle du "dilemme du prisonnier". (sic).

Posted by: Patastronch

Pour la 1/

http://maths-forum.com/showthread.php?t=12864
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=10420

Résumé :
Si je change pas de porte j'ai une proba de 1/3 de gagner.
Si je change de porte j'ai une proba de 2/3 de gagner.

Pour la 2/

A / Calculons la proba de gagner si je décide de changer de porte quoiqu'il arrive.
1 er cas :
Si la porte retirée est celle que j'ai choisi => J'ai forcément faux je change donc d'avis. J'ai une proba de 1/3 que ce cas de figure arrive. En changeant de porte je passe à une chance sur 2. Donc ce cas la me fait gagner avec une proba de 1/2*1/3=1/6

2 eme cas :
Si la porte retirée est différente de la mienne, on retombe dans l'ennoncé numéro 1 qui donne une proba de 2/3 de gagner. Probabilité que ce cas arrive : 2/3, Donc ce cas la fait gagner avec une proba de 2/3*2/3=4/9

Ces 2 cas son disjoint on les somme pour obtenir la probabilité de gagner ne changeant de porte : 1/6+4/9=11/18

B/ Calculons la proba de gagner si je décide de ne pas changer de porte quoiqu'il arrive :
1 er cas :
Si la porte retirée est celle que j'ai choisi => j'ai perdu => proba de gagner dans ce cas la 0.

2 eme cas :
Si la porte retirée est différente de la mienne, on retombe alors dans l'ennoncé numéro 1 qui donne une proba de 1/3 de gagner. Probabilité que ce cas arrive : 2/3, Donc ce cas la fait gagner avec une proba de 1/3*2/3=2/9

Ces 2 cas son disjoint on les somme pour obtenir la probabilité de gagner ne changeant de porte : 0+2/9=4/18

Conclusion => il faut changer de porte.

Pour le 3/
On me retire une porte. Il en reste 2. J'ai une chance sur 2 de gagner et la question de changer d'avis ne se pose pas. ou alors j'ai pas compris le probleme.

Posted by: Patastronch

Citation:

Posté par nightwatch

Ce problème est ensuite réapparu sous diverses versions dont l'un des plus connue est celle du "dilemme du prisonnier". (sic).

Euh, en théorie des jeux le dilemme du prisonnier est un problème qui n'a rien a voir avec celui-ci. Tu es sur de ton appellation ?

Posted by: Imod

Pour ceux qui veulent expérimenter :Monty hall .

Imod

Posted by: nightwatch

Pourtant l'analogie est bien Là

A l'époque où Marylin Vos Savant a remis sur la table le fameux problème en celui du jeu des 3 portes la plupart des mathématiciens a rejeté la solution qu'elle proposa pour enfin, et après pas mal de moqueries

et d'échanges amusants, se ranger de son côté...

En effet pour beaucoup de mathématiciens la solution semble "contre intuitive".

amicalement.

Posted by: ffpower

pour comprendre,l astuce c est de s imaginer le probleme avec 100 portes.Une voiture,99 chevres.Tu choisis une porte,le présentateur te montre 98 chevres parmi celles qui restent,et te laisse la possibilité de changer de porte

Posted by: Sve@r

Citation:

Posté par Monsieur23

Pour le 3, j'suis pas sûr de comprendre.
Le maître enlève une porte, et après seulement l'homme fait son choix ?
Il peut pas changer, puisqu'il avait rien choisi, non ?

Oui j'ai essayé de créer une 3° règle mais elle montre bien que c'est inutile. dans ce 3° cas on peut considérer que la 3° porte n'a jamais existé. Donc qu'il change ou pas il a toujours une chance sur 2

Citation:

Posté par Monsieur23

Pour le 2, ça dépend, si l'homme avait choisi la porte que le maître enlève, oui il a intérêt à changer. Sinon, je ne pense pas.

J'ai simulé les 3 règles sur informatique (avant d'aller voir l'animation de IMod) et pour la 2° règle avec 500.000 tirages sans changer j'arrive approximativement à 1/3 et 500.000 tirages en changeant toujours j'arrive approximativement à 1/2 (et la démo de Patastronch donne 11/18)

Citation:

Posté par nightwatch

En effet pour beaucoup de mathématiciens la solution semble "contre intuitive".

Pour moi-aussi jusqu'à ce que je programme mon petit tirage selon la règle n° 1 qui me donna 1/3 de gains sans changer et 2/3 de gains en changeant.
Ensuite je me suis rendu compte que le choix du maitre du jeu dépendait lui du choix initial donc cela influait aussi...

Posted by: scelerat

Citation:

Posté par Sve@r

Le probleme, en pratique, c'est qu'on ne joue qu'une fois et que les probabilites ne s'appliquent qu'aux grands nombres.

Posted by: Patastronch

Citation:

Posté par Sve@r

Je me suis peut-etre planté. D'ailleurs en réflechissant, je trouve ca bizarre que la proba ne soit pas 1/3 quand on décide de ne pas changer de porte quoiqu'il arrive.

Posted by: Patastronch

Citation:

B/ Calculons la proba de gagner si je décide de ne pas changer de porte quoiqu'il arrive :
1 er cas :
Si la porte retirée est celle que j'ai choisi => j'ai perdu => proba de gagner dans ce cas la 0.

2 eme cas :
Si la porte retirée est différente de la mienne,ce qui donne une proba de 1/2 de gagner. Probabilité que ce cas arrive : 2/3, Donc ce cas la fait gagner avec une proba de 1/2*2/3=1/3

Ces 2 cas son disjoint on les somme pour obtenir la probabilité de gagner ne changeant de porte : 0+1/3=1/3

Ok je me suis planté pour ce cas la. C'est un demi la proba de gagner dans le second cas et non 1/3 puisque l'on sait deja que quoiqu'il arrive, que la porte retirée ne sera pas la notre dans ce cas la (on est pas dans la meme situation que l'ennoncé numéro 1, y a une légère différence, je suis allé trop vite, le geolier ne conditionne pas sn choix pas rapport a nous dans ce cas la).

Du coup corrigeons l'autre également :

Citation:

A / Calculons la proba de gagner si je décide de changer de porte quoiqu'il arrive.
1 er cas :
Si la porte retirée est celle que j'ai choisi => J'ai forcément faux je change donc d'avis. J'ai une proba de 1/3 que ce cas de figure arrive. En changeant de porte je passe à une chance sur 2. Donc ce cas la me fait gagner avec une proba de 1/2*1/3=1/6

2 eme cas :
Si la porte retirée est différente de la mienne,ce qui donne une proba de 1/2 de gagner. Probabilité que ce cas arrive : 2/3, Donc ce cas la fait gagner avec une proba de 1/2*2/3=1/3

Ces 2 cas son disjoint on les somme pour obtenir la probabilité de gagner ne changeant de porte : 1/6+1/3=1/2

De même ici on a pas 2/3 mais 1/2 pour la meme raison.

Posted by: alavacommejetepousse

pour le cas 1 (le classique) j'ai réussi à le faire comprendre à un enfant de 7 ans ainsi ; on peut supposer que la bonne porte est la A

si je choisis la A et que je change je perds
si je choisis la B ou la C et que je change je gagne

conclusion je gagne 2 fois sur 3 en changeant.