Permutation intégrale-derivée partielle-dérivée totale

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: lorisv

Bonjour !

Je me retrouve confronté au problème suivant, issu de la mécanique du solide:

Soit W(C(t)) une fonction très régulière (disons infiniment continument dérivable). C est un tenseur du deuxième ordre (il représente les déformations d'un matériau) et t est le temps. On sait que W(t=0) = 0.

Dès lors, on peut écrire:

$ \int_0^t \frac{d W}{d \tau} (C(t)) d\tau = W(C(t))$



Le calcul des contraintes se fait en dérivant l'expression de W par rapport à $C$. On applique alors cette dérivation aux deux membres de l'expression précédente.

ici intervient le point délicat: sans aucune justification, l'auteur d'un article intervertit l'ordre des opérations d'intégration, de dérivation partielle par rapport à C et de dérivation totale par rapport à tau.

Mais manifestement:

$\int_0^t \frac{d}{d\tau} \frac{\partial}{\partial C}W(C(\tau))d\tau$

=

$\frac{\partial}{\partial C} W(C(t)) - \frac{\partial}{\partial C} W(C(0))$


On sait avec certitude que le deuxième terme n'est pas nul. Je me demande donc où se situe l'opération illicite dans ce raisonnement.

Je vous remercie par avance pour votre aide.


Posted by: busard_des_roseaux

Citation:
Posté par lorisv
$ \int_0^t \frac{d W}{d \tau} (C(t)) d\tau = W(C(t))$

Je me demande donc où se situe l'opération illicite dans ce raisonnement.



Bjr,

a-priori, la formule de départ est fausse.
La fonction est l'intégrale de sa dérivée, ça ça ne choque pas trop si
W et C sont de classe C1, mais la formule de dérivation
d'une fonction composée WoC montre qu'il manque le facteur C'.

sauf erreur.










-