periodicité des reste de a^k par b...

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: gol_di_grosso

voila j'ai un problème :

Soient a,b deux entiers naturels non nuls et premiers entre eux.

1) Pour tout k appartenant à N, on note r_k le reste de la division euclidienne de a^k par b.
Montrer que la suite (r_k)_{k \in N} est periodique.

je pense dire que le nombre de possibilité de reste est fini.
ensuite prendre un reste r_1 de a^k et montrer qu'à chaque fois que l'on a r_1 comme reste, on obtient un autre reste r_2 pour a^{k+1},
mais je pense qui a un peu mieux non ???


Posted by: fahr451

bonsoir

dans Z/bZ
classe (a) est inversible donc élément du groupe (Z/bZ)* et a donc un ordre fini

il existe T le plus petit entier strcitement positif tel que
classe(a)^T = classe(1)
la suite des restes est donc T périodique


Posted by: gol_di_grosso

ouai je suis d'accord mais comment montrer que a est inversible dans Z/bZ, ou y a une définition que j'ai oublié...


Posted by: abcd22

Citation:
Posté par gol_di_grosso
ouai je suis d'accord mais comment montrer que a est inversible dans Z/bZ, ou y a une définition que j'ai oublié...

On a supposé a et b premiers entre eux.


Posted by: gol_di_grosso

ouai mais je trouve plus la démo


Posted by: fahr451

bezout


au +bv = 1

donne

classe(a)classe(u) = classe(1)


Posted by: gol_di_grosso

oui en effet merci


Posted by: yos

L'idée initiale de Gol di grosso est quand même bonne. D'autant plus que l'hypothèse "a et b premiers entre eux" est inutile (si on s'autorise la périodicité à partir d'un certain rang).


Posted by: fahr451

oui mais là c'est périodicité stricte










-