Est-ce que d'une part la période de f * g est le pgcd(Tf, Tg) ? où Tf
(resp Tg) est la période de la fonction réelle f (resp g).
Où puis-je trouver la démonstration de ceci et également de celle
concernant la somme de deux fonctions, c'est à dire, la période de f +
g est le ppcm(Tf, Tg) ?
Merci.
Posted by: Psyko Niko
la période de f*g est celle de g.
Si pour tout x rél, g(x+Tg) = g(x), alors f(g(x+Tg)) = ...
Pour la somme, c'est plus compliqué. Le ppcm des deux périodes ( ou à défaut
le produit des deux périodes quand il ne s'agit pas de nombres entiers ) est
UNE période. Pour ce qui est de LA période, c'est à dire la plus petite des
périodes, rien de sûr, ça dépends des fonctions concernées.
Par exemple, si tu considères g=-f, tu obtiens g+f fonction nulle, et tout
les nombres sont des périodes...
--
Psyko Niko
"pains-aux-raisins" <pains-aux-raisins@zzz.fr> a écrit dans le message de
news:41285dc1$0$13695$636a15ce@news.free.fr...
> Bonjour à tous,
>
> Est-ce que d'une part la période de f * g est le pgcd(Tf, Tg) ? où Tf
> (resp Tg) est la période de la fonction réelle f (resp g).
>
> Où puis-je trouver la démonstration de ceci et également de celle
> concernant la somme de deux fonctions, c'est à dire, la période de f +
> g est le ppcm(Tf, Tg) ?
>
> Merci.
Posted by: pains-aux-raisins
Merci Psyko Niko pour tes explications.
f*g ... C'était pas la composition dans ma tête. Je me suis planté dans
mes notations, je voulais écrire f(x)*g(x), un produit de deux
fonctions...
Si je rajoute comme hypothèse que les deux fonctions f et g sont
périodiques avec une période rationnelle les propositions suivantes
sont-elles vraies ?
1/ période de f(x)*g(x) est le pgcd(Tf,Tg)
2/ période de f(x)+g(x) est le ppcm(Tf,Tg) tel que f(x)+g(x) non nul
Je ne suis pas sûr que ces hypothèses soient encore suffisantes pour en
conclure quoi que ce soit. Mais si cela ne suffit pas, je peux me
contenter d'une explication restreinte au cas des fonctions
trigonométriques sin, cos, tan.
Merci d'avance.
Psyko Niko wrote:
> la période de f*g est celle de g.
> Si pour tout x rél, g(x+Tg) = g(x), alors f(g(x+Tg)) = ...
>
> Pour la somme, c'est plus compliqué. Le ppcm des deux périodes ( ou à
> défaut le produit des deux périodes quand il ne s'agit pas de nombres
> entiers ) est UNE période. Pour ce qui est de LA période, c'est à
> dire la plus petite des périodes, rien de sûr, ça dépends des
> fonctions concernées. Par exemple, si tu considères g=-f, tu obtiens
> g+f fonction nulle, et tout les nombres sont des périodes...
Posted by: Osiris
"Psyko Niko" <nico.bagnati@NOSPAMmagic.fr> a écrit dans le message de news:
> la période de f*g est celle de g.
> Si pour tout x rél, g(x+Tg) = g(x), alors f(g(x+Tg)) = ...
Je pense qu'il s'agit du produit, pas de la composition...
> Pour la somme, c'est plus compliqué. Le ppcm des deux périodes ( ou à
défaut
> le produit des deux périodes quand il ne s'agit pas de nombres entiers )
est
> UNE période.
hein ? sin(x)+cos(x) serait (Pi)^2 périodique ?
Pour la somme,il me semble qu'il faille regarder si Tf/Tg est rationnel ou
pas.
**S'il est rationnel de la forme a/b, alors bTf=aTg et la somme est
périodique et une période est aTg (si a et b sont pris convenablement, c'est
même la période j'crois )
**S'il est irrationnel , la somme n'est pas périodique.
A confirmer,je dis ça de mémoire.
> Pour la somme,il me semble qu'il faille regarder si Tf/Tg est
> rationnel ou pas.
> **S'il est rationnel de la forme a/b, alors bTf=aTg et la somme est
> périodique et une période est aTg (si a et b sont pris
> convenablement, c'est même la période j'crois )
> **S'il est irrationnel , la somme n'est pas périodique.
> A confirmer,je dis ça de mémoire.
Oui, ça doit être un truc comme ça
par exemple, sin(x) + cos(5x)
période Tf de sin(x) : 2*Pi
période Tg de cos(5x) : 2*Pi/5
Tf / Tg = 5
a = 5 et b = 1
aTg = 5 * 2*Pi/5 = 2 * Pi qui est dans ce cas LA période.
hmmm, cette histoire de ppcm ne doit marcher que justement les périodes
de f et g sont rationnelles. Pi n'étant pas un rationnel ça devait être
là mon erreur.
Sinon pour ce qui est du produit de deux fonctions, il n'y a pas de
méthode de calcul ?
Posted by: Psyko Niko
"Osiris" <nino@amadoo.com> a écrit dans le message de
news:4128aee3$0$9976$79c14f64@nan-newsreader-05.noos.net...
>
> "Psyko Niko" <nico.bagnati@NOSPAMmagic.fr> a écrit dans le message de
news:
> > la période de f*g est celle de g.
> > Si pour tout x rél, g(x+Tg) = g(x), alors f(g(x+Tg)) = ...
>
> Je pense qu'il s'agit du produit, pas de la composition...
>
> > Pour la somme, c'est plus compliqué. Le ppcm des deux périodes ( ou à
> défaut
> > le produit des deux périodes quand il ne s'agit pas de nombres entiers )
> est
> > UNE période.
>
> hein ? sin(x)+cos(x) serait (Pi)^2 périodique ?
> Pour la somme,il me semble qu'il faille regarder si Tf/Tg est rationnel ou
> pas.
> **S'il est rationnel de la forme a/b, alors bTf=aTg et la somme est
> périodique et une période est aTg (si a et b sont pris convenablement,
c'est
> même la période j'crois )
> **S'il est irrationnel , la somme n'est pas périodique.
> A confirmer,je dis ça de mémoire.
>
OK, mes excuses pour le produit à la place de la composition, et mes excuses
pour le produit des périodes, j'aurais pas dû répondre avant le café du
matin ;-)
Osiris est dans le vrai, il s'agit pour beaucoup de rationnalité du rapport
des périodes.
En fait, de manière générale, si Tf et Tg sont des périodes de f et de g (
et je dis bien DES périodes ), tout nombre qui est un multiple ( entier )
de ces deux nombres est une période pour f+g. Si Tf/Tg est rationnel, il
existe des nombres qui vérifient cela. Quand à trouver le plus petit ...
Pour le produit, je crois que c'est exactement le même truc. Sans aucune
autre information, le seul moyen d'être sûr que f(x+T)*g(x+T) = f(x)*g(x),
c'est de savoir que f(x+T) = f(x) et g(x+T) = g(x), c'est à dire exactement
la même chose que pour la somme.
--
Psyko Niko
Posted by: pains-aux-raisins
Psyko Niko wrote:
>
> Pour le produit, je crois que c'est exactement le même truc. Sans
> aucune autre information, le seul moyen d'être sûr que f(x+T)*g(x+T)
> = f(x)*g(x), c'est de savoir que f(x+T) = f(x) et g(x+T) = g(x),
> c'est à dire exactement la même chose que pour la somme.
Effectivement !
Même si le cas que j'avais à traiter était trivial : trouver la période
de (sin(x)+cos(x)) / (1+cos(x)) : 2 * Pi
Ce truc idiot m'a embarqué dans un questionnement métaphysique sur le
cas général...
Enfin bref, merci pour les tuyaux Psyko & Osiris. ;)