perdue en MPSI!: équation différentielle.

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: lmn

Bonsoir,
après avoir passé la journée sur un exo je suis complètement démunie! Pourriez vous m'éclairer?!! svp.
Voici le problème:

On considère f une solution de l'équation différentielle E définie sur R par:
y'' + exp(x²)y = 0.
1) On définie sur R la fonction U par: pour tout x appartenant à R: U(x) = f(x)² + exp(-x²)f'(x)². Dresser le tableau de variation de U.

2) En déduire que f est bornée.

Voilà voilà...
Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter.


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par lmn
Bonsoir,
après avoir passé la journée sur un exo je suis complètement démunie! Pourriez vous m'éclairer?!! svp.
Voici le problème:

On considère f une solution de l'équation différentielle E définie sur R par:
y'' + exp(x²)y = 0.
1) On définie sur R la fonction U par: pour tout x appartenant à R: U(x) = f(x)² + exp(-x²)f'(x)². Dresser le tableau de variation de U.

2) En déduire que f est bornée.

Voilà voilà...
Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter.


Bonjour !

Je simplifie au maximum mes notations...au prix de quelques entorses à la rigueur dont tu me pardonneras, j'espère.

On a :

\Large f^{(2)}+ e^{x^2} \times f = 0 équation [1]

\Large U=f^2+e^{-x^2}f '^2

Je dérive :

\Large U' = 2\times f\times f' - 2xe^{-x^2}f '^2+e^{-x^2}\times 2f ' f^{(2)}

J'utilise l'équation [1] pour remplacer f ' '

\Large U' = 2\times f\times f' - 2xe^{-x^2}f '^2+e^{-x^2}\times 2f ' \times (-e^{x^2} f)

\Large U' = - 2xe^{-x^2}f '^2

Il en résulte que U' est du signe de -x. U croît jusqu'à U(0) puis décroît. U(x) est donc inférieur ou égal à U(0). Mais U(x) est positif ou nul : il est supérieur ou égal à 0.

0 <= U(x) <= U(0)

U est donc borné !










-