Pente d'une tangente

[Anonyme]

J'ai un petit problème à résoudre ce problème, votre aide me sera très précieuse.

Calculez la pente de la tangente au point correspondant à t=1 de la courbure définie par x=e^t, y=e^-2t

Donne ensuite l'équation de la droite tangente.

Merci !

[Jeet-chris]

Salut.

En considérant la tangente comme une fonction affine de la forme y=ax+b:

+ Le coefficient directeur "a" de la tangente en 1 est la limite de [y(t)-y(1)]/[x(t)-x(1)] quand t tend vers 1.

+ L'ordonnée à l'origine "b" se détermine en exprimant la tangente au point de tangence.

@+

[cesar]

si vous savez dériver : calculez dx/dt et dy/dt. La pente de la tangente est dy/dx= (dy/dt)/(dx/dt) et ensuite faire t=1.
sinon, faites la methode de jeet-chris


si on connait la pente de la tangente (je l'appelle "a"), la droite a pour équation y= a*x +b , b étant une constante. Il faut ecrire que pour t=1, la droite passe par la courbe, donc y(1)=a*x(1)+b, et comme y(1), a et x(1) sont connus on trouve la valeur de b

[protiti]

Soit M un point de ta courbe , donc vecteur om=x*u+y*v où u et v sont les vecteurs de x et y (vecteur du plan)
Soit d le vecteur tangente d=dom/dt=dx/dt*u+x*du/dt+dy/dt*v+y*dv/dt (d'après la formule de dérivation d'un produit)
or u et v sont constants donc d=dx/dt*u+dy/dt*v
ici d=e^t*u-2*e^-2t*v or en 1
=e*u-2*e^-2*v

soit l'équation de la tangente y=a*x+b
a=-2*e^-2/e=-2*e^-3
en t=1 x=e, y=e^-2
e^-2=-2*e^-3*e+b d'où b=3*e^-2

y=-2*e^-2*x+3*e^-3 :D

[protiti]

:mad: désolé mais c'est
y=-2*e^-2*x+3*e^-2

[cesar]

n'est ce pas plutot : y = -2*e^-3 *X + 3*e^-2 ???

[protiti]

ouais bien vu

[cesar]

les deux methodes donnent le meme resultat. heureusement...!!