Voilà un petit truc plutôt sympa et joli je trouve =)
Montrer que si est un entier pour un donné, alors m est un carré parfait.
Bon courage
Posted by: Zweig
On est ammené à résoudre (je passe les calculs intermédiaires) avec . Puisque et sont premiers entre eux, seuls deux cas se présentent
(i) , => => impossible car y² /= -1[7]
(ii) , . Dans ce cas, .
CQFD
Posted by: _-Gaara-_
Hummm moi je l'ai fait différemment :D mais en 50 minutes, toi çà t'a pris 25 minutes à tout casser (sans compter le temps pour écrire) ^^
Bien joué Zweig =)
Posted by: Zweig
Comment as-tu fait ?
Posted by: _-Gaara-_
hihi je te poste çà demain dès que je me réveille.
J'ai la tête dans msn là dsl =)
le couple ((m/2) −1 ; n) est solution de dont le plus petit couple solution est .
On a donc
(m/2)−1 + n \sqrt{28} = (127+24\sqrt{28})^k avec k appartients à N.
donc
on pose
on a
POINT BARRE XD c'est mon CQFD à moi =)
voilàààà arf je suis DEAD
Posted by: Zweig
Joli !
Posted by: _-Gaara-_
Citation:
Posté par Zweig
Joli !
Merci du compliment, c'est bien la première fois que je réussis un truc comme çà.
Posted by: lapras
salut,
sans regarder les messages précédent,
On a m² - 4m - 4 = 4*(28n²+1)
donc m² = 0 [4] donc m = 0 [4]
m = 4*k
<=>
k²-k = 7n²
<=>
k(k-1) = 7n²
PGCD(k ; k-1) = 1
donc au moins un des deux nombres (puisqu'ils sont premiers entres eux) est un carré parfait, de plus 7 divise l'un des deux (lemme de gauss).
donc il y a des possibilités :
k = u² et k-1 = 7*v²
k = 7u² et k-1 = v² <=> 7u² = v² + 1 <=> v² = -1[7] ce qui impossible
donc
k = u²
m = (2u)²
c'est ce qu'il fallaiut démontrer
Posted by: _-Gaara-_
Salut lapras,
En effet ta méthode est juste, c'est la même d'ailleurs que celle de Zweig =)
est un entier pour un 
donné, alors m est un carré parfait.
avec 
. Puisque 
et 
sont premiers entre eux, seuls deux cas se présentent
, 
=> 
=> impossible car y² /= -1[7]
, 
. Dans ce cas, 
.
dont le plus petit couple solution est 
.
