Mathématiques - pavage apériodique du plan par deux triangles rectangles

pavage apériodique du plan par deux triangles rectangles
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: mathelot

bjr ,

Voiçi l'idée, venue des pavages de Roger Penrose:

le nombre d'or $\phi$ vérifie:

$\displaystyle \phi^2=\phi + 1$

soit

$\displaystyle 1=\frac{1}{\phi}+\frac{1}{\phi^2}$

On définit donc l'angle $\theta$ tel que $\cos(\theta)=\frac{1}{\phi}$
et $\sin(\theta)=\frac{1}{\sqrt{\phi}}$

On part d'un triangle rectangle ABC, rectangle en A,ayant ces deux angles complémentaires pour angles adjacents de l'hypoténuse.

A partir du sommet A, on mène récursivement deux hauteurs
à partir de chaque pied de hauteur obtenue à l'étape précédente.
vous voyez le truc ?

Au bout de quelques opérations, les lignes polygonales obtenues se "raccordent" . Il faut faire les calculs pour le montrer. On découpe ainsi le triangle initial en un nombre fini de petits triangles rectangles, tous semblables au grand , avec seulement deux motifs,deux patrons P1 et P2. La famille des petits triangles possède donc deux classes d'isométrie. Comme il y a un aspect "fractal" dans la construction, ABC étant pavé par des triangles semblables à lui-même, on peut donc paver l'ensemble du plan,
par des triangles , soient isométriques au patron P1 ou isométriques au patron P2.

On montre que le pavage obtenu est apériodique, car le rapport
entre le nombre de triangles d'une, ou, l'autre taille,P1 ou P2, a une limite irrationnelle.

Ce qui me plairait serait de réaliser sous Adobe Postscript le ou les
pavages obtenus pour les exposer sur le Web.

Le problème de paver le plan,a-périodiquement, avec un seul motif est encore un problème ouvert.

Posted by: Jean_Luc

Salut,

Je ne suis pas sur de bien comprendre

je suis un peu fatigé.
Est-ce que tu t'attends a quelque chose comme ça ? J'ai fait ça
vite fait....

Pour n=10 step, j'obtiens:

http://zelda38.free.fr/tri_f.png

Posted by: mathelot

oui, sublime,

maintenant, ce que j'ai fait:
1)
on arrête d'itérer le tracé de hauteurs au bout de quatre ou cinq itérations dès que les pieds de hauteurs coïncident de part et d'autre d'une base
(on doit itérer en tout 4 ou cinq fois).

2) j'avais tracé cela au crayon et à la gomme: on peut garder un pavage de ABC avec uniquement deux tailles de triangles P1 et P2.
Par exemple, ton pavage comporte $2^0+2^1+2^2+...+2^{10}=2^{11}-1$ classes d'isométries.

Pour ce faire, on déconstruit les triangles élémentaires trop petits.
pour se ramener à un pavage de ABC composé de deux tailles de triangles.

3)
Ensuite, le dessin est "fractal" , ie., on retrouve ABC en son intérieur.
On peut donc faire l'opération inverse, partir de ABC et en faire une "expansion" pour paver l'intégralité du plan. Le pavage obtenu est apériodique.

Posted by: mathelot

jean-luc,

le dessin est super.

Peux tu programmer seulement deux tailles de triangles, l'une en bleu et l'autre en jaune ?

puis faire l'expansion à partir d'un petit triangle ABC pour obtenir
un pavage ?

l'angle à considérer est $\theta=arccos(\frac{1}{\phi})=51,83$ °
et son complémentaire.

cordialement,

Posted by: Jean_Luc

Citation:

Posté par mathelot

jean-luc,

le dessin est super.

Peux tu programmer seulement deux tailles de triangles, l'une en bleu et l'autre en jaune ?

puis faire l'expansion à partir d'un petit triangle ABC pour obtenir
un pavage ?

l'angle à considérer est $\theta=arccos(\frac{1}{\phi})=51,83$ °
et son complémentaire.

cordialement,

OK, je vais voir ce que je peux faire...

Posted by: Jean_Luc

Salut,

Désolé pour cette réponse tardive, j'ai eu une journée un peu chargée hier...

Ceci-dit je ne comprends pas bien comment tu choisis les tailles des 2 triangles et comment tu "déconstruis" les triangles trop petits.
J'ai fait un petit dessin jusqu'à n=5 , le moment ou les hauteurs se "connectent". J'ai numéroté les points, pourrais-tu me désigner ici un exemple de choix de P1 et P2 ?

http://zelda38.free.fr/tri_f2.png

Posted by: Jean_Luc

OK, je pense avoir compris, es-tu d'accord avec ça ?

http://zelda38.free.fr/tri_f3.png

Posted by: Jean_Luc

J'ai un doute, je "selectionne" les triangles par leur surface, il y a donc
4 triangles (symètrique 2à2).

http://zelda38.free.fr/tri_f4.png

Posted by: mathelot

je savais que c'était beau.

Il y a des trucs extra: il y a des périodicités locales.

on va montrer que ce pavage du plan est apériodique (il n'admet aucune période).

moi aussi, je classe les différents triangles (tous semblables) en triangles isométriques, grâce aux aires par un procédé fort simple.

question: il me semble que tu as pû obtenir uniquement deux patrons ?
deux classes d'isométrie, une bleue et une rouge ?

à mon avis, il y a un moyen d'éviter les rectangles.

Posted by: mathelot

Bonsoir Jean luc,

peux-tu redessiner le triangle du message n°6 de notre conversation,
les sommets étant désignés par des lettres au lieu d'entiers naturels, pour faciliter les échanges épistolaires ?

Posted by: Jean_Luc

Citation:

Posté par mathelot

question: il me semble que tu as pû obtenir uniquement deux patrons ?
deux classes d'isométrie, une bleue et une rouge ?

Oui, je n'ai pas testé toutes les possibiltés de triangles. Je vais essayer
d'obtenir d'autres dessins. En fait, les 2 pavages que j'ai postés sont censés
être les mêmes, pour justement tenter de répondre à ta deuxième question,
et je n'ai pas trouvé de periode.

Posted by: mathelot

On va démontrer qu'il est a-périodique.

Pourrais tu republier les triangles du message 6 avec des lettres ?

Posted by: mathelot

voiçi un algorithme visuel enfantin pour repérer les tailles
par les aires. Tous les triangles sont semblables.

On part d'un triangle rectangle ABC rectangle en A, nommé ABC dans le sens trigonométrique direct , avec
$\hat{B}=arccos(\frac{1}{\sqrt{\phi}})=38,17..$ °
et
$\hat{C}=arccos(\frac{1}{\phi})=51,83..$ °

où $\phi$ est le nombre d'or.

Ce 1er triangle a une aire de 1, par convention.

Quand on mène une hauteur,elle découpe le triangle en deux triangles semblables , entre eux et au triangle ABC. L'aire BCH découpée du coté de $\hat{B}$ est celle de ABC multipliée par $\frac{1}{\phi}$ , vérification facile, et l'aire AHC découpée du côté de $\hat{C}$ est celle de ABC multipliée par $\frac{1}{\phi^2}$

On dit alors que ABH, d'aire $\frac{1}{\phi^1}$ est de taille 1 et le triangle AHC, d'aire $\frac{1}{\phi^2}$ est de taille 2.

Ce que j'ai vérifié , c'est qu'il est possible de paver ABC en triangles
uniquement de taille 4 et 5. Je ne me rappelle plus si l'on peut éviter les rectangles. Et les hauteurs se connectent.

Posted by: Jean_Luc

Voila,

http://zelda38.free.fr/tri_f5.png

Je vais essayer avec d'autres tailles de triangles, pour voir...

Posted by: mathelot

On dit qu'un triangle est de taille $n$ si son aire vaut
$\phi^{ -n} \times$ aire $(ABC)$

voilà les tailles respectives que l'on note au fur et à mesure des découpages:

ABC=0
ABT=1
ACT=2
ATa=3
aTC=4
FBI=3
FTi=4
AFQ=5
TFQ=4
ARa=4
TRa=5
IDB=4
IDF=5

Posted by: Jean_Luc

Voici un autre pavage, en fait il semble qu'il y ait seulement 2 pavages possibles.
(A confirmer...)
pour des tailles (n,n+1) ou (n+1,n+2).

http://zelda38.free.fr/tri_f6.png

Posted by: mathelot

aRW=6,ARW=5,AWQ=6,RWQ=7

QF et QW se connectent.
démo: Par similarité
$AQ=\frac{AB}{\phi^3}$ dans le triangle AWR.
$AQ=\frac{AC}{\phi^{\frac{5}{2}}}$ dans le triangle AFT.
Les deux longueurs sont égales car $\frac{AB}{AC}=\sqrt{\phi}$

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par Jean_Luc

Voici un autre pavage, en fait il semble qu'il y ait seulement 2 pavages possibles.
(A confirmer...)
pour des tailles (n,n+1) ou (n+1,n+2).

http://zelda38.free.fr/tri_f6.png

re,

Quel algorithme utilise-tu pour le dessin ? On va essayer de montrer qu'ils sont a-périodiques. L'idée, c'est d'évaluer la proportion de triangles de taille
k et k+1 (k fixé) dans un dessin rectangulaire, et de montrer que cette proportion a pour limite un irrationnel quand les dimensions du dessin tendent vers l'infini (le pavage tend alors à recouvrir le plan)

ça ne me parait pas évident ce que tu appelles deux pavages ? il y en aurait
que deux , à isométrie directe près ? je subodore qu'il y en a une infinité.

Posted by: Jean_Luc

Bon effectivement la méthode que j'utilise n'est peu être pas correcte.
En gros je choisis un triangle ABC grand, je choisis une petite taille (k grand),
et je découpe jusqu'à atteindre k ou k+1.
Ce qui me chagrine, c'est que je n'utilise pas du tout le fait que les hauteurs
se connectent...

Je suis un peu perdu...

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par Jean_Luc

Bon effectivement la méthode que j'utilise n'est peu être pas correcte.
En gros je choisis un triangle ABC grand, je choisis une petite taille (k grand),
et je découpe jusqu'à atteindre k ou k+1.
Ce qui me chagrine, c'est que je n'utilise pas du tout le fait que les hauteurs
se connectent...

Je suis un peu perdu...

si c'est ok.

1) dis moi combien vaut k ?

As tu remarqué, que par rapport au cadre (carré) dans lequel est dessiné
le pavage, celui-çi se comporte de façon curieuse par rapport aux diagonales ?

2)comment est situé le triangle ABC par rapport au cadre (carré) ?

PS: il y a un truc que je n'ai pas regardé du tout. Tout point ,dans l'intérieur
du triangle, peut être repéré par ses coordonnées barycentriques. j'espère de jolies formules pour les coorodnnées des points du maillage.

Posted by: Jean_Luc

Citation:

Posté par mathelot

1) dis moi combien vaut k ?

Citation:

Posté par mathelot

As tu remarqué, que par rapport au cadre (carré) dans lequel est dessiné
le pavage, celui-çi se comporte de façon curieuse par rapport aux diagonales ?

Oui en effet...

Citation:

Posté par mathelot

2)comment est situé le triangle ABC par rapport au cadre (carré) ?

Grosso modo, je prends FAaT.

Posted by: mathelot

merçi beaucoup pour toutes ces précisions. Bonne nuit.

Posted by: Jean_Luc

Citation:

Posté par mathelot

merçi beaucoup pour toutes ces précisions. Bonne nuit.

De rien, bonne nuit...
http://forums.futura-sciences.com/i...ilies/co-co.gif

Posted by: Jean_Luc

Un peu plus de details, P représente $\frac{N_k}{N_{k+1}}$ dans ABC.
$N_k$ = nombre de triangle de taille k
Les rectangles sont tous FAaT.

http://zelda38.free.fr/tri_f7.png

Posted by: Jean_Luc

Quelques données sur la convergence vers $\phi$ .
Il semble que l'on ait une convergence linéaire avec $\mu=\~0.38$

Code:


k=3  (3,2)  R=1.5 Speed=0.07294901687515776
k=4  (5,3)  R=1.6666666666666667 Speed=0.4120226591665965
k=5  (8,5)  R=1.6 Speed=0.37082039324993604
k=6  (13,8)  R=1.625 Speed=0.386271242968682
k=7  (21,13)  R=1.6153846153846154 Speed=0.3803286084614796
k=8  (34,21)  R=1.619047619047619 Speed=0.38259246922610995
k=9  (55,34)  R=1.6176470588235294 Speed=0.38172687540438716
k=10  (89,55)  R=1.6181818181818182 Speed=0.3820573748633614
k=11  (144,89)  R=1.6179775280898876 Speed=0.3819311166440468
k=12  (233,144)  R=1.6180555555555556 Speed=0.38197934026783575
k=13  (377,233)  R=1.6180257510729614 Speed=0.3819609200863413
k=14  (610,377)  R=1.6180371352785146 Speed=0.3819679559015968
k=15  (987,610)  R=1.618032786885246 Speed=0.3819652684567305
k=16  (1597,987)  R=1.618034447821682 Speed=0.3819662949931126
k=17  (2584,1597)  R=1.6180338134001253 Speed=0.3819659028235105
k=18  (4181,2584)  R=1.618034055727554 Speed=0.3819660519198053
k=19  (6765,4181)  R=1.6180339631667064 Speed=0.3819659982663936

EDIT: Fibonacci ???
J'avais pas remarqué ! C'est amusant :)

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par Jean_Luc

Un peu plus de details, P représente $\frac{N_k}{N_{k+1}}$ dans ABC.
$N_k$ = nombre de triangle de taille k
Les rectangles sont tous FAaT.

http://zelda38.free.fr/tri_f7.png

A l'étape k=3, nous avons un unique rectangle, noté $R_{0}$ . Pour paver le plan,on considère qu'à l'étape k=7, ce rectangle $R_{0}$
se retrouve, (de manière isométrique) dans le coin droit du rectangle $R_{1}$ de l'étape k=7. Le passage de l'étape k=3 à l'étape k=7 est une
similitude. La considération des angles puis des aires indiquent que le rapport
de similitude est $\sqrt{6 \phi -1}$

On note que $R_{0}$ et $R_{1}$ sont composés
d'un nombre entiers de triangles bleus et rouges.

Soit $b_{n}$ le nombre entier de triangles bleus et $r_{n}$ le nombre entier de triangles rouges, à l'étape n, dans le rectangle $R_{n}$

La considération des aires permet d'écrire:
$\displaystyle (b_{n+1}+a_{n+1} \quad \frac{1}{\phi})=(6 \phi -1) (b_{n}+r_{n} \quad \frac{1}{\phi})$

Les nombres 1 et $\phi$ étant libres sur $\mathbb{Z}$ car $\phi$ est irrationnel, on identifie les coefficients entiers
des combinaisons linéaires, d'où:

$r_{n+1}=6 b_{n}-r_{n}$
$b_{n+1}=5 b_{n}+6 r_{n}$

La proportion de triangles bleus et rouges , $\rho_{n}=\frac{r_{n}}{b_{n}}$ vérifie la récurrence:

$\rho_{n+1}=\frac{6-\rho_{n}}{5+6 \rho_{n}}$

Cette suite s'étudie posant:
$v_{n}=\frac{ -1 + \phi \rho_{n}}{\phi (1+ \rho_{n})+1}$
et en montrant que $(v_{n})$ est géométrique.

Ainsi,
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \rho_{n}= \frac{1}{\phi}$

La proportion de triangles bleus et rouges a pour limite le nombre irrationnel $\frac{1}{\phi}$ .
Le pavage du plan, obtenu en expansant les rectangles, est apériodique.

Posted by: mathelot

Ce qui a été écrit jusqu'au message 26 montre qu'il est possible de paver le plan par des tuiles rouges et bleues. Ce qui manque dans la démonstration, c'est une procédure constructive qui permette à un joueur de puzzle, disposant d'une ressource infinie en tuiles de chaque couleur, de poser les pièces

- sans être bloqué à une étape
- de manière que la surface pavée reste connexe à chaque étape et finit par recouvrir tout compact du plan.

Posted by: Jean_Luc

Citation:

Posté par mathelot

Ce qui a été écrit jusqu'au message 26 montre qu'il est possible de paver le plan par des tuiles rouges et bleues. Ce qui manque dans la démonstration, c'est une procédure constructive qui permette à un joueur de puzzle, disposant d'une ressource infinie en tuiles de chaque couleur, de poser les pièces

- sans être bloqué à une étape
- de manière que la surface pavée reste connexe à chaque étape et finit par recouvrir tout compact du plan.

Bonjour mathelot,

Bien joué pour la démo

En fait le procédé de construction est simple,
au moins quand on découpe les triangles. On divise les grands triangles
(les bleus) en deux, la grande partie reste bleu et la petite devient rouge,
les anciens rouges devienent bleus. C'est tout ! Du coup c'est facille de
voir que l'on a bien les termes d'une suite de Fibonacci (par exemple le
nombre de bleu dans un triangle à chaque étape).
Je ne pense pas que le procédé inverse soit trop difficile à obtenir,
Je vais plancher la dessus....

Posted by: Jean_Luc

Voici une méthode qui permet d'étendre un triangle. La transformation à
opérer (symbolisée par la flèche) est une symétrie autour de l'axe horizontal
rond une rotation de ?53deg?.
Ça a l'air de marcher...

http://zelda38.free.fr/tri_f8.png

Posted by: busard_des_roseaux

Bonsoir,

Pourquoi l'utilisateur Mathelot a été banni ?

Posted by: ffpower

Ah ouais,tiens,il m avait pas l air d un floodeur..

Posted by: Imod

Citation:

Posté par ffpower

Ah ouais,tiens,il m avait pas l air d un floodeur..

Réponse ?

Personnellement je trouve la sanction un peu lourde !

Imod

Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:

Posté par busard_des_roseaux

Bonsoir,

Pourquoi l'utilisateur Mathelot a été banni ?

Bonjour,

Voir http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=395084#post395084

La règle est valable pour tout le monde, mathelot ou pas. Mathelot est banni 3 jours comme je l'ai indiqué. Il n'est pas le seul à avoir été sanctionné de la sorte pour les mêmes raisons.
Il convient que tous respectent le règlement et la politique du forum.

Dominique

Posted by: Jean_Luc

Bonjour,

Dur, dur pour mathelot !

Je n'ai pas reussi à trouver de symmetries qui permettraient de paver le plan
à partir d'un motif initial et partant dans toutes les directions.
On peut paver un rectangle, mais on est obligé de partir du coté opposé (Fig. 1). L'idée est donc de trouver un moyen de construire la fig. 2 en partant
du coin en haut à droite.

Si vous avez des idées...

http://zelda38.free.fr/tri_f9.png

Posted by: ffpower

Ah ca y est le ban est fini,z allez pouvoir refaire joujou avec vos triangles^^(a moins qu il se soit vexé et ne revienne plus)

Posted by: mathelot

bjr,
l'angle $\theta$ vérifiant
$\displaystyle 2 \cos(\theta)=\frac{2}{\phi}=\sqrt{5}-1$
semble incommensurable avec $\pi$ , ie, ne s'exprime pas en fraction de $\pi$ .

Posted by: Jean_Luc

Citation:

Posté par mathelot

bjr,
l'angle $\theta$ vérifiant
$\displaystyle 2 \cos(\theta)=\frac{2}{\phi}=\sqrt{5}-1$
semble incommensurable avec $\pi$ , ie, ne s'exprime pas en fraction de $\pi$ .

Je pense que l'astuce réside dans le passage de l'etape k=3 à k=7, vu que l'on retrouve un rectangle identique à celui du départ....

Posted by: mathelot

soit $\theta$ l'angle du pavage.
$\displaystyle \cos(\theta)=\frac{1}{\phi}$
où $\phi$ est le nombre d'or.

Montrons que $\theta$ est incommensurable avec $\pi$ .

Définissons la suite de terme général $u_{m}=\cos(2m \theta)$ .
Pour l'entier naturel m > 0, le terme $u_m$ de cette suite ne peut
prendre la valeur 1.

En effet,

$u_0=1,u_1=2-\sqrt{5},u_2=17-8\sqrt{5}$

Avec un peu de trigo, $u_m$ vérifie la relation de récurrence:
$u_{m+1}=2 u_m u_1 - u_{m-1}$

Soient les deux suites $(a_m)$ et $(b_m)$ données par:
$u_m=a_m - b_m \sqrt{5}$ :

Elles vérifient les relations de récurrence:

$a_{m+1}= 4 a_m - a_{m-1} + 10 b_m$
$b_{m+1}= 4 b_m + 2 a_{m} + b_{m-1}$

$a_0=1,a_1=2,a_2=17,b_0=0,b_1=1,b_2=8$ .

Ce sont donc des suites à valeurs entières,strictement croissantes.
d'où:

$\forall m \in \mathbb{N^*} \qquad \cos(2m\theta) \neq 1$ .

Posons $\theta=\frac{p}{q} \pi$ . D'où, $\cos(2q \theta)=1$ . Impossible.

$\theta$ et $\pi$ sont incommensurables.

Posted by: mathelot

bjr JL,

içi, le temps est plutôt gris. Pourrais-tu faire un dessin dans le même style que celui du message 24, mais avec l'angle $\hat{A}$ ?

$\displaystyle \hat{A} \sim 36,685$ degrés

$\displaystyle \cos(\hat{A})=\frac{1}{2 \cos(\frac{2 \pi}{7})}$

$\xi=\cos(\hat{A})$ est un nombre algébrique , solution de l'équation $x^3+2x^2-x-1=0$

Il semble intéressant d'utiliser les coordonnées barycentriques pour étudier ces pavages. Elles vérifient la propriété suivante:

Si A,B,C sont trois points du plan affinement indépendants (formant un triangle), M un point quelconque du plan, les coordonnées barycentriques
de M(x,y,z) sont l'unique triplet vérifiant:

i) $\displaystyle x+y+z=1$
ii) pour tout point O, $\displaystyle M= O + x \vec{OA}+y \vec{OB}+z \vec{OC}$

existence et unicité de telles coordonnées se montre en utilisant le fait que $(A,\vec{AB},\vec {AC})$ est un repère (affine).

à +.

Posted by: Imod

Ce que je trouve sympa dans ce genre de fil c'est quand il y a une bonne âme ( et j'ai souvent joué ce rôle ) qui nous dit : bon je fais un petit résumé des résultats obtenus et supposés pour ceux qui n'ont pas le courage de tout lire en espérant de tout coeur ramener avec nous des lecteurs et aussi des acteurs

Imod

Posted by: Jean_Luc

Oui, il faudrait faire un petit résumé, tu as raison

(j'essayerai de faire ça demain)

@mathlot:

Je ne comprends pas bien ton nouveau choix d'angle, pourrais-tu me décrire ceci un peu mieux (en me donant $\hat{A},\hat{B} et \hat{C}$ ) ?
Merci.

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par Jean_Luc

J'ai fait un petit dessin jusqu'à n=5 , le moment ou les hauteurs se "connectent".
http://zelda38.free.fr/tri_f2.png

re,

1)
On a considéré un grand triangle rectangle , d'angles complémentaires
$\theta+\bar{\theta}=\frac{\pi}{2}$ (étape 1)

$\cos(\theta)=\frac{1}{\phi}$ et $\cos(\bar{\theta})=\frac{1}{\sqrt{\phi}}$ et tracé des pieds de hauteurs de manière itérative.

2)
à l'étape 5, on montre par le calcul que certaines hauteurs se "connectent".
3) A une étape n, on donc $2^n$ triangles , tous semblables et semblables au triangle initial. En effaçant certains hauteurs,notamment dans les coins, et en complétant d'autres,on peut se ramener à paver le triangle initial par uniquement deux triangles, dont les aires sont dans un rapport de $\phi$ .

4) on a un effet de "zoom", un effet "fractal", puisque le triangle initial ABC
se retrouve en petit , en son intérieur, semblable par une similitude
d'angle $\theta$ (triangle 11-14-16)

5) Le procédé inverse du "zoom", l'expansion, permet à partir d'un petit triangle 11-14-16 , de l'inclure dans un grand triangle, et donc de paver l'intégralité du plan, par uniquement deux triangles. c'est à ce propos
que l'on a écrit que l'on avait deux classes d'isométrie.

6) On a montré que ces pavages sont a-périodique et que l'angle $\theta$ est incommensurable avec $\pi$ .La démonstration de cette dernière propriété utilise les polynômes de Tchebytcheff.

Je ne sais si tu trouveras ces pavages dignes d'intérêt. On aimerait bien les classer, décrire les procédés d'expansion possibles, trouver d'autres angles
donnant d'autres pavages apériodiques. Pour l'instant, le cosinus de l'angle de base est $\frac{1}{\phi}$ , $\phi$ , le nombre d'or étant un nombre algébrique de polynome minimal $x^2-x-1=0$ .
On va essayer de regarder ce que donne d'autres cosinus, en considérant
des exemples de nombres algébriques plus compliqués. Par exemple,
$cos(\theta)=\frac{1}{2 \cos( \frac{2 \pi}{7} )}$ , $\cos(\theta)$ est un nombre algébrique de polynôme minimal $x^3+2x^2-x-1$ .

Idéalement, celui qui pave le plan par un seul motif au lieu de deux, finit dans le guiness book ou avec la médaille Fields.

Pour JL,

Peux tu faire un dessin avec les angles
$\frac{\pi}{2}$ , $\alpha$ tel que $\cos(\alpha)=\frac{1}{2 \cos(\frac{2 \pi}{7})}$ et $\beta=\frac{\pi}{2} - \alpha$

Je ne sais comment tout cela est programmé en Java. Pars-tu d'une valeur approchée des angles ? Si on pouvait avoir un algorithme d'expansion au lieu d'un algorithme de division.. ça , ça a l'air difficile.

PS: la subdivision en $2^n$ triangles donne une illustration des coefficients du binôme, par les aires.