une partition

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Posted by: cadi

bonjour comment vous montrer que
C_k ={n\in\mathbb{N}^* | n = 2^k - 1 (mod 2^{K+1})} pour k>0
forme une partition des entiers impairs.


Posted by: serge75

Tu as un 'petit k' et un 'grand K'... Est-ce volontaire ?
Peux-tu nous préciser ton énoncé en m'éclairant sur ces k et K ?
Serge


Posted by: alben

Bonsoir,
Si l'on fait l'hypothèse que k et K c'est pareil, je ne vois pas de problème.
Il faut montrer
1 que les intersections sont vides, donc que si n€C(k) et n€C(n+p) avec p>0, on aboutit à une contradiction (une histoire de parité)
2 que pour n'importe quel impair 2n+1 , on trouve un k tel que 2n+1 € C(k) (la plus grande puissance de 2 divisant 2n)


Posted by: thedream01

il ne sert à rien le modulo???
Vu que la fonction k->(2^k)-1 est injective et 2^(k)-1<2^(k+1)-1


Posted by: Rainbow

bonjour,
je ne vois pas comment thedream01 fait pour dire que 2^(k+1)-1 appartient à C(k) et à C(k+1)??
Regarder les cas k=0,1,2 etc était une bonne idée, on trouve C0={nbre pairs}, C1={1,5,9,13,17,21...} C2={3,11,19,27...}

Tout d'abord montrons que les intersectio nsont vides :
soit n apartenant à Ck et à Ck'. tu as alors :
n=2^k-1+q\times2^{k+1}=2^{k'}-1+q'\times2^{k'+1}, pour un certain q et q'. Tu poses k=k'+k2, tu fais tes petits calculs, et tu trouve :
1+2q=2^{k_2}(1+2q')
Le premier terme est clairement impair, et le second, si k2 différent de 0 (et donc k\neq k' ) est pair. Ceci est impossible, et donc k=k', (puis q=q'). Et donc Ck=Ck'... ou plutôt, si k\neq k', alors C_k\cap C_k'=\emptyset
Maintenant, pour montrer que tout entier appartiens à un Ck, je te laisse faire (j'avoue que je n'ai pas encore cherché, mais ca doit être le même genre de calculs non?)


Posted by: cadi

ok merci tout le monde pour votre aide mais le K et le k se sont les meme










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