Partie entière impaire et approche de sqrt(2

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: theophilo

Bonjour,

Et si je vous demandais de prouver que la partie entière de (2+sqrt(3))^n est un entier impair... ?
J'ai eu ouïe dire qu'on pouvait d'abord prouver grâce à la formule du binôme que (2+sqrt(3))^n + (2-sqrt(3))^n est un entier pair, et ça j'ai réussi à le faire, mais pour conclure l'exercice je rame depuis des lustres...

Sinon, autre exercice, j'ai aussi à prouver que pour m et n dans N* l(m+2n)/(m+n)-sqrt(2)l<l(m/n)-sqrt(2)l avec sgn((m+2n)/(m+n)-sqrt(2))=-sgn((m/n)-sqrt(2))

D'avance merci


Posted by: _-Gaara-_

Salut,

peut-être une récurrence ?

xD


Posted by: tize

Bonjour,
0&lt;2-\sqrt{3}&lt;1 donc 0&lt;(2-\sqrt{3})^n&lt;1.
Si (2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n=2p_n alors E\((2+\sqrt{3})^n\)=E\(2p_n-(2-\sqrt{3})^n\) donc...


Posted by: theophilo

Merci beaucoup ! C'était encore très simple mais je ne l'avais pas vu tout ce temps que j'y avais passé !


Posted by: theophilo

Pour mon autre exercice, je suis toujours bloqué après avoir essayé et essayé encore... Quelqu'un a-t-il la méthode ?










-