paradoxe et probabilité

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Posted by: fahr451

Soit une urne infiniment grande et une infinité de boules numérotées de 1,2... considérons trois façons de remplir l 'urne :
CAS 1
A minuit moins une les boules 1 à 10 sont placées dans l'urne et la boule 10 est retirée (le retrait est immédiat) . A minuit moins trente seconde on place les boules 11,...,20 et la boule 20 est retirée etc ...

CAS 2
A minuit moins une on place les boules 1...10 et on retire la 1;
à minuit moins 30 sec on place les boules 11 à 20 et on retire la 2; etc...

CAS 3

a minuit moins une on place le s boules de 1 à 10 et on en retire une au hasard à minuit moins 30 sec on place les boules de 11 à 20 et on retire une boule au hasard parmi celles présentes

donner ds les trois cas la probabilité que l'urne à minuit soit vide

(le cas 3 est le plus complexe)


Posted by: fahr451

moi je le trouve chouette ton paradoxe ; en plus dans le cas3 l 'urne est vide avec une proba 1


Posted by: alben

Bonjour,
Je ne comprends rien à ce fil :
Si on injecte 9 boules à t-1, puis 9 à t-1/2,....t-(1/2)^n l'urne n'a pas beaucoup de chance d'être vide à t
Ca a l'air d'un monologue ?


Posted by: fahr451

bonjour

si on lit de façon précise le fil (qui se veut un échange cordial (et fructueux?) ) on se rend compte qu'on injecte 10 boules et qu'on en retire une ( de façon instantanée).
En effet dans le cas 1 l'urne contient une infinité de boules à minuit.
Les cas 2 et 3 sont justement l'objet du paradoxe.


Posted by: scelerat

Citation:
Posté par alben
Bonjour,
Je ne comprends rien à ce fil :
Si on injecte 9 boules à t-1, puis 9 à t-1/2,....t-(1/2)^n l'urne n'a pas beaucoup de chance d'être vide à t
Ca a l'air d'un monologue ?

Si je comprends bien sa demonstration de 0 = 1, on applique \infty = 1 +\infty et on simplifie par l'infini.


Posted by: fahr451

de quelle démonstration parles tu ?


Posted by: scelerat

Citation:
Posté par fahr451
de quelle démonstration parles tu ?

De la demonstration du paradoxe dont tu ne parles pas.
Le fait qu'on met un nombre infini de boules dans l'urne et qu'on en retire un nombre infini, donc qu'il te semble qu'elle puisse etre vide.


Posted by: fahr451

bien bien il s 'agissait donc de "ma" démonstration (que je n'ai pas fournie d 'ailleurs)
je dis que ds le cas 2 l 'urne à minuit est vide .
puisque toute boule aura été retirée.C'est un fait
PS: il serait souhaitable de ne pas faire de procès d'intention.


Posted by: scelerat

Citation:
Posté par fahr451
je dis que ds le cas 2 l 'urne à minuit est vide .
puisque toute boule aura été retirée.C'est un fait .

A minuit, ton urne cesse d'exister, ou elle se transforme en citrouille. Ou alors, ce qui se passe a minuit est la limite quand t tend vers 0 de ce qui se passe auparavant. Le nombre de boules dans l'urne est donc lim(10n -n) quand n -> infini. Ca n'est pas egal a lim(10n) - lim(n), puisque ni l'une ni l'autre ne sont finies. \infty - \infty n'est pas defini, tu ne peux pas dire que que c'est zero parce que c'est positif ou nul et que c'est quelque chose auquel on a soustrait \infty.


Posted by: fahr451

dans le cas 2
pour tout nombre n la boule numéro n sera retirée à minuit - (1/2)^(n-1) donc strictement avant minuit; ce qui assure qu 'aucune boule ne sera dans l'urne à minuit.


Posted by: scelerat

Citation:
Posté par fahr451
dans le cas 2
pour tout nombre n la boule numéro n sera retirée à minuit - (1/2)^(n-1) donc strictement avant minuit; ce qui assure qu 'aucune boule ne sera dans l'urne à minuit.

Le fait que tu ne puisses pas citer le numero d'une boule dans l'urne n'assure en rien qu'il n'y en a pas. La preuve, quand tu as enleve ta boule n, il en restait 9n dans l'urne.


Posted by: fahr451

ben voyons.

Je PROUVE que pour toute boule, elle a été retirée strictement avant minuit .
on passera au cas 3 dans quelques décennies.


Posted by: scelerat

Citation:
Posté par fahr451
ben voyons.

Je PROUVE que pour toute boule, elle a été retirée strictement avant minuit .
on passera au cas 3 dans quelques décennies.

Tu ne prouves rien du tout. Tu pretends qu'il y a un paradoxe, que personnellement j'ai le plus grand mal a voir.
De toute facon, tu n'atteindras jamais minuit, puisque comme je te l'ai dit, quand tu retires la boule n, il t'en reste 9n a oter avant d'y parvenir.



Posted by: fahr451

On fixe un numéro arbitraire n La boule qui porte ce numéro est retirée à la date minuit -(1/2)^(n-1) .Toute boule est placée dans l'urne et retirée à un moment donné.Si tu contestes ceci il n ' y a rien à ajouter.

Pour ce qui est du "paradoxe " c'est une façon usuelle de dire qu 'en modifiant très légérement les conditions de l'expérience on arrive à un résultat très différent. Deux expériences différentes , deux résultats différents en effet.


Posted by: Patastronch

Scelerat a parfaitement raison pour ma part. Tu as toujours 9 fois plus de boules que le numéro de la boule que tu enleves.

Ton raisonnement est faux puisque tu insinues que tu peux enlever la dernière boule a un temps déterminé (puisque tu affirmes qu'il y en aura 0 a minuit). Ce qui est bien sur absurde puisqu'il n'y a pas de dernière boule dans l'urne vu que tu en rajoutes 9 de plus à chaque fois. Ton raisonnement serait juste si le nombre de boules était fini.

Et je croyais que les paradoxes basés sur une discrétisation inégale du temps étaient tous obsolète.


Posted by: fahr451

ai je parlé de dernière boule ?


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par fahr451
ai je parlé de dernière boule ?



Fatalement puisque tu insinues que l'urne est vide a la fin.


Posted by: fahr451

toute boule est retirée de l'urne


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par fahr451
toute boule est retirée de l'urne


On tourne en rond la :

2 possibilités :

Si pour toi :
"toute boule est retirée de l'urne" => "urne vide a minuit".
Dans ce cas on a bien entendu
"urne vide a minuit" => "j'ai retiré la derniere boule avant minuit à un instant précis".
Ce qui est faux bien entendu.

Si pour toi :
"toute boule est retirée de l'urne" n'implique pas "urne vide a minuit".
alors on est d'accord et il n'y a d'ailleurs pas de paradoxe.


Posted by: xon

Salut,

Citation:
Dans ce cas on a bien entendu
"urne vide a minuit" => "j'ai retiré la derniere boule avant minuit à un instant précis".
Ce qui est faux bien entendu.


J'ai l'impression que ce raisonnement est faux, le fait "d'aller a l'infini" empeche de definir l'instant precis en question.

Par exemple 1/n tends vers 0 pourtant pour aucun n 1/n n'est nul.

fahr451 as tu une explication ou une maniere de lever ton paradoxe?


Posted by: fahr451

merci de reparler de ce sujet

il est "clair" (il devrait l'être en tout cas) que l'urne est vide à minuit

voici une preuve pour les récalcitrants(non pas que l'urne est vide mais qu'elle l'est avec proba 1)


on définit les événements

En : la boule n est retirée avant minuit
l'événement A" l'urne à minuit est vide"
A = intersection des En pour n = 1 ,...,infini

on pose E'n = E1inter E2 inter ...En

A = intersection des E'n pour n = 1,...,infini
la suite des E'n est décroissante
le théorème de la limite monotone donne
P(A) = lim P(E'n)
or E'n est "les boules 1 jusqu'à n sont retirées avant minuit"
cet événement est certain (les boules 1,...,n ne sont plus ds l'urne à minuit -(1/2)^(n-1) )donc P(E'n) = 1
et P(A) = 1
A est quasi certain.


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par xon
Salut,



J'ai l'impression que ce raisonnement est faux, le fait "d'aller a l'infini" empeche de definir l'instant precis en question.

Par exemple 1/n tends vers 0 pourtant pour aucun n 1/n n'est nul.

fahr451 as tu une explication ou une maniere de lever ton paradoxe?


C'est justement pour ca que je dis : "Ce qui est faux bien entendu."

Citation:
Posté par fahr451
merci de reparler de ce sujet

il est "clair" (il devrait l'être en tout cas) que l'urne est vide à minuit

voici une preuve pour les récalcitrants(non pas que l'urne est vide mais qu'elle l'est avec proba 1)


on définit les événements

En : la boule n est retirée avant minuit
l'événement A" l'urne à minuit est vide"
A = intersection des En pour n = 1 ,...,infini

on pose E'n = E1inter E2 inter ...En

A = intersection des E'n pour n = 1,...,infini
la suite des E'n est décroissante
le théorème de la limite monotone donne
P(A) = lim P(E'n)
or E'n est "les boules 1 jusqu'à n sont retirées avant minuit"
cet événement est certain (les boules 1,...,n ne sont plus ds l'urne à minuit -(1/2)^(n-1) )donc P(E'n) = 1
et P(A) = 1
A est quasi certain.



Tu raisonnes a l'envers.

Dans ton raisonnement tu supposes que n est le nombre de boules dans l'urne. Et tu dis que quand n tends vers l'infini alors tu retires toutes tes boules. Or tu n'as pas n boules mais 10n boules. Tu en retires seulement n (meme si n tends vers l'infini ca ne veux pas dire que tu retires toutes les boules, il te restera les boules de n+1 a 10n dans l'urne)

Ce qui est faux dans ton raisonnement c'est de dire que p(A)=1 signifie que la probabilité que l'urne soit vide a minuit est de 1. Non ca veut seulement dire que les boules de 1 à n seront retiré avec certitude mais pas que tu as retiré les boules de n+1 a 10n (et cela meme si n tends vers l'infini)

Comme le disait Scelerat, infini=infini+1 est pas equivalent a 0=1 quand on simplifie par l'infini.


Posted by: fahr451

on rê ve la
on a une suite de boules !
A est l intersection d un nombre infini dénombrable d 'événements


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par fahr451
on rê ve la
on a une suite de boules !
A est l intersection d un nombre infini dénombrable d 'événements


Ce n'est pas parceque tu en as une infinité que tu les a tous. Il t'en reste encore une infinité a retirer (les boules de n+1 a 10n). Tu sembles laisser croire que l'infini est une "valeur maximale" unique, ce qui n'est pas du tout le cas.

Si Bn est le nombre de boules retirées et Cn le nombre de boules ajoutées à un instant précis fonction de n , alors lorsque n tends vers + l'infini on a Bn/Cn=n/10n=1/9n qui tends vers 0. Soit la proportion de boules retirées tends vers la nullité. On retrouve bien une probabilité qui tends vers 0 que l'urne soit vide.


Posted by: fahr451

de quel droit passes tu à la limite sur ce rapport pour en déduire une probabilité?


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par fahr451
de quel droit passes tu à la limite sur ce rapport pour en déduire une probabilité?


En effet grosse erreur de ma part (avec grosse erreur de calcul) :

par :
Citation:
Si Bn est le nombre de boules retirées et Cn le nombre de boules ajoutées à un instant précis fonction de n , alors lorsque n tends vers + l'infini on a Bn/Cn=n/10n=1/9n qui tends vers 0. Soit la proportion de boules retirées tends vers la nullité. On retrouve bien une probabilité qui tends vers 0 que l'urne soit vide.


je voulais dire :

Si Bn est le nombre de boules retirées et Cn le nombre de boules ajoutées à un instant précis fonction de n , alors lorsque n tends vers + l'infini on a Bn/Cn=n/10n=1/9 . Soit la proportion de boules retirées est constante et vaut 1/9. On retrouve bien une probabilité nulle que l'urne soit vide.


Posted by: fahr451

je repose ma question de quel droit passes tu à la limite sur ce rapport ?

(tu noteras que j'essaye de rester correct ce qui n'est pas si simple avec des interlocuteurs qui m'attribuent des affirmations fantaisistes "simplifier par l'infini"
"tu dis qu il y a n boules ds l urne" etc


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par fahr451
je repose ma question de quel droit passes tu à la limite sur ce rapport ?


Parcequ'il reste de manière certaine 90% des boules ajoutées a tout instant fonction de n.


Posted by: fahr451

en proba il faut des événements ensuite la probabilité de ces evenements ,
et si on prend un nbre infini d événements être prudent sur ce qu'on dit
j'ai rédigé une preuve, pas toi .


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par fahr451
en proba il faut des événements ensuite la probabilité de ces evenements ,
et si on prend un nbre infini d événements être prudent sur ce qu'on dit
j'ai rédigé une preuve, pas toi .


Oui et l'union de tes évenement doit représenter l'univers. Or comme je te le disais dans ton raisonnement, tu laisses sous entendre que ton univers est constitué de n boules et non de 10n boules. Ta probabilté de 1 signifie seulement que les n premieres boules de l'ensemble des boules de l'urne sont retirées de maniere certaine et non que toutes les boules de ton univers sont retirées de maniere certaine.

Et je n'ai nullement envie de rentrer dans une formalisation évidente pour prouver que : "il reste avec certitude des boules dans l'urne à tout moment" => "la probabilité que l'urne soit vide à minuit est nulle". Je pense que si tu t'en donnes la peine tu le démontreras facilement par toi meme.


Posted by: fahr451

il ya une suite de boules = une infinité dénombrable
et dire que je sous entends le contraire est malhonnète de ta part.
d'autre part si le formalisme est évident pourquoi ne pas le faire?
ma preuve en effet est simple mais je l'ai écrite complètement.


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par fahr451
il ya une suite de boules = une infinité dénombrable
et dire que je sous entends le contraire est malhonnète de ta part.
d'autre part si le formalisme est évident pourquoi ne pas le faire?
ma preuve en effet est simple mais je l'ai écrite complètement.


Pour te faire plaisir et histoire de prendre les gens pour des cons :

Si D_t représente l'évenement : il reste au moins une boule dans l'urne à un instant t
Alors on a \forall t,p(D_t)=1 (du fait qu'il reste 90 % des boules a tout moment dans l'urne de maniere certaine).

Si F_t représente l'évenement il n'y a aucune boule dans l'urne a l'instant t , alors on a \forall t,p(F_t)=1-p(D_t) (puisque F_t est le complémentaire de D_t )

On en déduit donc : \forall t,p(F_t)=0

Au cas ou (je me méfie avec toi):
On a (\forall t,p(F_t)=0) \Rightarrow (p(F_{minuit})=0)


Posted by: fahr451

ta dernière implication est fausse;passage indu à la limite tout simplement.


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par fahr451
ta dernière implication est fausse.


Aiguille moi parceque la je vois pas.


Posted by: fahr451

minuit est une limite; on doit passer à la limite sur n pour savoir cequ'il en est à minuit et on ne peut pas le faire n'importe comment
moi je l'ai fait correctement
théorème de la limite monotone;
toi tu as juste affirmé "donc à la limite on a .."


Posted by: Patastronch

Non je dit simplement que le cas général implique le cas particulier. Rien de plus.

Si c'est vrai pour tout t, alors c'est vrai pour un t précis (limite ou pas limite).


Posted by: fahr451

de quel t parles tu ??
le temps est discrétisé...
on a la date 1 , 2 ,3 ... ;
minuit n'est pas un instant atteint;


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par fahr451
de quel t parles tu ??
le temps est discrétisé...
on a la date 1 , 2 ,3 ... ;
minuit n'est pas un instant atteint;


Bon on reprends :

Mon Dt et mon Ft et leur relation entre eux sont vrai indépendemment du probleme. Le seul lien avec le probleme dans ma démo , se trouve quand je dis que \forall t,p(D_t)=1 (car 90 % des boules sont dans l'urne de maniere certaine a tout moment).

La justification entre parenthèse a été justifiée y compris pour la limite qui est minuit(dans un des posts antérieurs). Donc dans les valeurs que peuvent prendre t, minuit en fait parti.

Peut etre que quelque chose m'échappe mais j'ai plus l'impression que tu cherches la petite bete.


Posted by: fahr451

c'est la première fois que tu parles enfin d'événement je ne vois dans quel post antérieur "linstant minuit aurait été justifié"
je ne chipote absolument pas
minuit n 'est pas un état t (il faudrait dire n le temps n'est pas continu ici )
on a une suite de dates et donc minuit ne peut se traiter que par un théorème limite


Posted by: Patastronch

Je te laisse relire la conversation dans son intégralité pour prendre du recul, on en reparlera demain si tu veux. Je ferais de même pour prendre du recul. Ca évitera des arguments bornés.

Bonne nuit.


Posted by: fahr451

bonne nuit

je n'ai pas de recul à prendre.

une fois qu' on a accepté l'expérience et la discrétisation du temps
c'est limpide.


Posted by: scelerat

Citation:
Posté par fahr451
bonne nuit

je n'ai pas de recul à prendre.

une fois qu' on a accepté l'expérience et la discrétisation du temps
c'est limpide.

Pas de recul a prendre, mais un peu de modestie a apprendre. Je n'ai encore pas vu ou il y avait une probabilite dans les cas 1 et 2 parfaitement deterministes, par exemple. Je n'ai pas non plus compris comment on peut melanger nombre de boules, numero de boule, passage a la limite sur le temps et passage a la limite sur les ajouts/retraits de boules, et finalement affirmer qu'on est le seul a faire les choses correctement grace a quoi on fait apparaitre un resultat que les autres considerent comme faux et qui constitue "donc" un paradoxe par rapport au resultat communement admis comme vrai.


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par fahr451
je n'ai pas de recul à prendre.


Voila, on a identifié le problème.

Pour reprendre, minuit est une valeur atteinte par t car : Si tu te rappelle : Bn/Cn =1/9 et ne dépend donc pas de n. Voila pourquoi à tout instant il y a 90 % de boules de maniere certaine dans l'urne et que donc la probabilité que l'urne soit vide est nulle.

Je ne comprends toujours pas comment tu peux continuer a croire que l'urne sera vide dans un nombre fini d'étape. (parcequ'il est évident que si ton nombre d'étapes est infini tu ne videra jamais l'urne meme si dans ce nombre infini d'étape tu "crois retirer" toutes les boules).


Posted by: fahr451

-> à tout entier n non nul correspond une et une seule boule Bn
et une et une seule date tn et une et une seule expérience En
le seul indice sur lequel on passe à la limite est n.
Ps il n est pas question d e modestie ni d'immodestie mais de respect ce dont tu n'as pas fait bcp preuve.

-> minuit n'est pas une date atteinte

-> je comprends bien qu'on puisse penser différemment ce que je comprends moins c'est la façon déplaisante d e l 'exprimer.

ce fut un plaisir.


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par fahr451
-> minuit n'est pas une date atteinte


Tu dis que la proba que l'urne soit vide a minuit est de 1 (donc certaine) et en meme temps tu dis que minuit n'est pas une date atteinte de maniere certaine.

Ces 2 phrases sont en parfaite contradiction, non ?

Par hypothèse d'uniformité du temps, minuit est une date atteinte quoiqu'il arrive. Je me passe justement de discrétisation inégale infini du temps dans mes arguments pour palier a ton impression que minuit ne sera jamais atteint. Et toi tu me sors que minuit n'est pas atteint.

Si pour tout n Bn/Cn =1/9, alors pour tout instant qui viens apres un instant ou il reste 90% de boules, il e en restera toujours 90% et meme apres minuit si personne décide de changer les règles de l'énoncé.

Je passe sur les attaque perso qui sont hors sujet.


Posted by: fahr451

le premier -> ne te concernait pas


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par fahr451
le premier -> ne te concernait pas


Ca ne change rien au fait que ce soit hors sujet.


Posted by: fahr451

je ne suis pas d 'accord
on peut échanger (presqu' à l infini) des arguments antagonistes mais pas ds n'importe quelles conditions ( ironie , procès d'intention,...)
en tout cas ce n'est pas mon intention de le faire.


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par fahr451
je ne suis pas d 'accord
on peut échanger (presqu' à l infini) des arguments antagonistes mais pas ds n'importe quelles conditions ( ironie , procès d'intention,...)
en tout cas ce n'est pas mon intention de le faire.


La manière dont se poursuit ce débat est une belle argumentation au fait que c'est bel est bien hors sujet. Je ne réinterviendrais dans cette conversation seulement quand le débat sera recadré.

En attendant bonne journée.


Posted by: xon

Salut,

Citation:
Tu dis que la proba que l'urne soit vide a minuit est de 1 (donc certaine) et en meme temps tu dis que minuit n'est pas une date atteinte de maniere certaine.


Je pense que ce que veut dire fahr451 c'est que minuit n'est pas un point interieur de l'ensemble des temps qu'on regarde, et que en ce sens parler du temps minuit necessite un passage "propre" à la limite.

Par exemple 1/t est strictement positif lorsque t est positif, mais on ne peut pas en conclure que ceci reste vrai a la limite.


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par xon
Salut,



Je pense que ce que veut dire fahr451 c'est que minuit n'est pas un point interieur de l'ensemble des temps qu'on regarde, et que en ce sens parler du temps minuit necessite un passage "propre" à la limite.

Par exemple 1/t est strictement positif lorsque t est positif, mais on ne peut pas en conclure que ceci reste vrai a la limite.


POur 1/t c'est un mauvais exemple, car on peu bel est bien le déduire. Mais de toute facon c'était surtout pour taquiner l'ami, j'attendais pas de réponse sérieuse a cette provocation.

Dans tous les cas une fonction constante a toujours la meme valeur en ses points limites si la limite existe. Et Bn/Cn est une fonction contante.


Posted by: xon

Citation:
POur 1/t c'est un mauvais exemple, car on peu bel est bien le déduire


Euh,... je parlais de la limite quand t tends vers l'infini , du coup 1/t est plus strictement positif.


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par xon
Euh,... je parlais de la limite quand t tends vers l'infini , du coup 1/t est plus strictement positif.


Ah ? tu m'apprends quelque chose, pourquoi on peut pas conclure que 1/t est strictement positif en +infini (ou négatif en -infini par symétrie) ? Je vois pas pourquoi on peut pas conclure.


Posted by: MikO

cela contredirait que la limite est 0 ..


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par MikO
cela contredirait que la limite est 0 ..


On differentie 0+ et 0- si je ne m'abuse non ?


Posted by: MikO

elle n'est pas strictement positive car elle est negative, on dit quelle tend vers 0 par valeur positive c'est different


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par MikO
elle n'est pas strictement positive car elle est negative, on dit quelle tend vers 0 par valeur positive c'est different


Je comprends pas.
1/t est strictement positive sur ]0,a] (je met a car vous semblez dire qu'elle ne l'est pas en plus l'infini). Pourquoi en +l'infini elle est pas strictement positive si elle tends vers 0 par valeur positive et sachant qu'elle est strictement décroissante pour tout t>0 ?

Y a sérieusement quelque chose qui m'échappe je crois.


Posted by: xon

en +infini t->1/t "vaut" exactement 0. Elle n'y est donc pas strictement positive meme si elle tend vers 0 par valeurs positives.

Citation:
1/t est strictement positive sur ]0,a] (je met a car vous semblez dire qu'elle ne l'est pas en plus l'infini)


L'hypothese que tu donnes ne te permettra de conclure que 1/t est strictement positive que sur ]0;+infini[ et non sur ]0;+infini].


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par xon
en +infini t->1/t "vaut" exactement 0. Elle n'y est donc pas strictement positive meme si elle tend vers 0 par valeurs positives.



L'hypothese que tu donnes ne te permettra de conclure que 1/t est strictement positive que sur ]0;+infini[ et non sur ]0;+infini].


ok on est d'accord , on s'était mal compris. Je raisonnais sur l'intervalle ouvert.

Donc ca change rien a ce que je disais précedemment, la fonction Bn/Cn est une fonction constante indépendante de n, et elle est défini sur [minuit-1,minuit[, on peut prolonger par continuité a minuit son domaine de définition (meme plus si on veut puisque apres aucune action n'est faite et la fonction Bn/Cn garde donc sa valeur, mais ca nous interesse pas ici).

Je vois toujours pas ce qui rends caduque que Bn/Cn =1/9 à minuit. Y a t il encore quelque chose qui m'échappe ?


Posted by: xon

Voila comment j'interprete les choses :

Tu as raison en disant que le rapport Bn/Cn tends vers 1/9 et pourtant cela n'empeche pas le fait qu'a minuit toutes les boules aient été retirées. Pour moi le "paradoxe" se situe a cet endroit. (Je dis paradoxe simplement parceque c'est un resultat contre intuitif).

Ceci est equivalent a une autre propriete troublante de l'infini qui est qu'il y a autant d'entiers naturels que d'entiers pairs (çà marche avec n'importe quel multiple et dans notre cas çà serait plutot N equipotent a 9N, et meme avec l'ensemble des rationnels).

Cela vient de la definition qu'on donne a la maniere de compter quand les ensembles ont une quantite d'elements infinie, a savoir qu'on considere que deux ensemble sont "de meme taille" ou equipotent s'il existe une bijection entre les deux, ce qui prolonge bien la definition du cas des ensembles finis. Cette definition etant posee il ne reste plus qu'a construire une bijection qui marche ce qui est possible.

Ainsi ce que montre le fait que le rapport Bn/Cn tende vers 1/9 c'est que si on avait des ensembles finis, on aurait 9 fois plus de boules restantes que de boules enlevees, mais dans notre cas on considere des ensembles infinis et comme N et 9N sont equipotents ils contiennent le meme nombres d'elements et a la fin, il ne reste plus rien.


Posted by: Patastronch

Ton point de vue c'est ce qu'on sous entendait avec la vulgarisation +\infty =+\infty +1 \Leftrightarrow 0=1
En fait ton argument est bien entendu vrai mais faux pour un n équivalent pour la suite n et la suite 9n. Si je compte de 1 en 1 et toi de 2 en 2 , il me faudra 2 fois plus de temps pour compter aussi loin que toi. Or dans notre problème les actions d'ajouts et de retirement de boules se font en même temps et en nombre identique. Et ce n'est pas parceque l'ensemble des multiples de 9 et l'ensemble des entiers ont le meme cardinal que n=9n (et cela meme pour un n infiniment grand, ou alors la je m'incline car ca voudrait en effet dire qu'il y a quelque chose qui m'échappe dans les maths).

Prenons le paradoxe de Zenon :
L'énoncé du paradoxe, en termes modernes, est le suivant : une flèche n'atteint jamais sa cible (une variante fait intervenir Achille et une tortue). En effet, admettons que pendant une seconde la flèche parcoure 10 mètres et que la cible soit située à 20 m. Au bout d'une seconde la flèche est encore à 10 m de la cible. Attendons une demi-seconde : la flèche parcoure 5 m, donc il lui en reste encore 5. Attendons 1/4 de seconde : la flèche parcoure 2.5 m et il lui en reste encore 2.5 à parcourir, et ainsi de suite...

Aujourd'hui on résout simplement ce problème en sommant a l'infini tous ses trajets : 20 \sum_{i=1}^n \frac {1} {2^n} qui converge bien vers 20 quand n tends vers l'infini.

En fait ce paradoxe est le meme que celui proposé dans ce post. La discrétisation du temps se fait d'une manière analogue et on se set de ca pour en déduire une contradiction.
De la même manière si on appelle Gn le nombre de boules retiré à l'instant fonction de n (c'est a dire que Gn=1 pour tout n) et Hn le nombre de boule que l'on ajoute a l'instant dépendant de n (c'est a dire que Hn=10 pour tout n).

Alors le nombre de boules dans l'urne a minuit vaut :
\sum_{i=1}^n H_n-G_n soit 9n.

Donc quand n tends vers l'infini le nombre de boules dans l'urne tends vers l'infini. Ce qui implique bien qu'il reste au moins une boule de manière certaine dans l'urne à minuit.

J'ai l'impression qu'on tourne en rond de toute facon. Je crois que tout le monde a compris les arguments pour le paradoxe (qui sont pour ma part une mauvaise interprétation du problème) et les arguments contre le paradoxe. Maintenant chacun son avis sur la question même si pour ma part ce n'est pas une question d'avis mais de bon sens puisqu'il n'y a en réalité pas de paradoxe. Apres il est possible que quelque chose m'échappe, mais personne ne m'a encore fournit l'argument qui permet de me faire douter.


Posted by: alben

Bonjour
Désolé de remonter ce fil qui a donné lieu à des échanges aigre-doux mais il est vrai que le paradoxe est intéressant.
Le cas 1 ne pose pas problème
Le cas 2 conduit à un paradoxe :
si l'urne n'est pas vide à minuit +.. elle contient au moins une boule qui porte un numéro précis. On peut d'ailleurs assimiler le contenu de l'urne à une partie de N qui a un plus petit élément. Mais cette boule a été sortie à un instant précis d'où contradiction et la conclusion logique imparable : l'urne est bien vide.
Le paradoxe tient en partie au fait que l'expérience à l'air possible et que l'on lui applique son intuition sensible. En fait, elle n'est pas réalisable physiquement et l'existence d'une urne vide ou pleine n'a aucun sens. Simplement, pour maintenir la cohérence de la logique habituelle, il faut dire qu'elle est vide.
De fait on n'est pas très éloigné du paradoxe d'Achille et de la tortue.
Le cas 3 est moins gênant : La probabilité que chaque bille prise individuellement reste dans l'urne tend vers zéro mais cela ne permet pas d'affirmer que l'urne est vide. De la même manière, la probalilité d'atteindre un point précis du plan lors d'un lancer est nulle mais le projectile arrive bien quelque part !

Somme toute, tout cela n'est pas plus dérangeant que de savoir qu'il n'y a pas plus de nombres rationnels que d'entiers mais qu'il y en a moins que de réels entre 1 et 1,001
En tout cas, merci, c'était intéressant


Posted by: fahr451

ben dis donc je désespérais : oui l'urne est vide ds le cas 2

et ds le cas 3 la probabilité qu'elle soit vide à minuit est 1

il est quasi impossible qu'elle soit non vide à minuit










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