Mathématiques - Les ouverts de IN^IN muni de la topologie produit.

Les ouverts de IN^IN muni de la topologie produit.
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Posted by: Zapata

Bonjour à tous,
si l'on muni IN de la topologie discrète, c'est-à-dire que toutes les parties de IN sont des ouverts. Et que l'on muni ensuite IN^IN de la topologie produit.
Est-ce que toutes les parties de IN^IN sont des ouverts ?
Je me demande si je ne confonds pas la topologie boite avec la topologie produit...

Posted by: legeniedesalpages

salut, c'est quoi la topologie boite? essaie de voir si les singletons de IN^IN sont des ouverts, si c'est le cas alors toutes les parties seront ouvertes.

Posted by: Zapata

En fait je crois avoir trouvé la réponse, c'est non. Ça serait valable dans la topologie boite, mais pas celle du produit.

Posted by: Zapata

La topologie boite est celle engendrée par les produits quelconques d'ouverts.

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par Zapata

La topologie boite est celle engendrée par les produits quelconques d'ouverts.

d'accord, c'est la définition que j'ai eu pour la topoologie produit en fait, ces deux notions doivent sûrement coïncider pour un produit fini d'espace.

Tu as quoi comme définition pour la topologie produit?

Posted by: Zapata

Oui elles coïncident pour un nombre fini d'espaces (enfin je pense, je ne me suis pas assuré de le chose, mais c'est probable).
La topo produit est celle engendrée par la base de topologie des ouverts élémentaires.
Les ouverts élémentaires sont les intersections finies d'inverses de projections d'ouverts de X. On projette IN^IN sur chacun des IN. On veut que les projections soient continues afin de pouvoir utiliser la propriété universelle.
Dans notre exemple, X=IN.
J'espère être assez clair, c'est pas facile à écrire lorsqu'on ne maitrise pas LATEX.
J'ai un peu de mal à visualiser les ouverts de IN^IN pour cette topologie.

Posted by: legeniedesalpages

C'est trivial vu que IN est muni de la topo discrète (ie toutes les parties sont ouvertes) alors toutes les applications qui ont IN pour espace de départ sont continues (l'image réciproque d'un ouvert est forcément un ouvert).

Posted by: Zapata

Je suis bien d'accord avec ton argument... Mais que montres-tu avec cela ? Je ne vois ce que tu essaies de montrer avec cela.
En fait je voulais utiliser le même argument pour montrer qu'une application de IN^IN dans les irrationnels était continue mais comme toutes les parties de IN^IN ne sont pas des ouverts, ça ne marche pas.

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par Zapata

Je suis bien d'accord avec ton argument... Mais que montres-tu avec cela ? Je ne vois ce que tu essaies de montrer avec cela.
En fait je voulais utiliser le même argument pour montrer qu'une application de IN^IN dans les irrationnels était continue mais comme toutes les parties de IN^IN ne sont pas des ouverts, ça ne marche pas.

tu as raison, je ne sais pas pourquoi je me suis dit que les projections vont de IN dans IN^IN alors que c'est le contraire.

Posted by: Zapata

Hihihi, ça m'arrive aussi parfois de telles erreurs ! De croire dur comme fer en une chose, puis tout un coup : "oh mais quel âne !".
Flute alors,... faut que je trouve autre chose...

Posted by: legeniedesalpages

attends je récapitule: y a deux questions en fait:

On prend IN^IN muni de la topo produit.

1) Montrer que les projections sont continues.

2) montrer qu'une application de IN^IN dans les irrationnels est continue.

(c'est quoi la "propriété universelle"?)

La topo produit est celle engendrée par la base de topologie des ouverts élémentaires.
Les ouverts élémentaires sont les intersections finies d'inverses de projections d'ouverts de X

Posted by: legeniedesalpages

Donc un ouvert élémentaire c'est de la forme

$3$U=\bigcap_{j\in J\\ J\ fini\subset \mathbb{N}} p_j^{-1}(I)$ , $I$ inclus dans $\mathbb{N}$

1°

Et on veut montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ , et pour toute partie I de $\mathbb{N}$ , on a $p_n^{-1}(I)$ ouvert dans $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ ,

mais $p_n^{-1}(I) = \bigcap_{j\in \{n\}} p_j^{-1}(I)$ qui est un ouvert élémentaire, non?

Posted by: abcd22

Bonjour,
Définition de la topologie produit (version langage mathématique de celle que Zapata a donnée plus haut):
Soient $(E_i,T_i)_{i \in I}$ une famille d'espaces topologiques.
Les rectangles ouverts sur $E = \displaystyle \prod_{i \in I} E_i$ sont (c'est une définition) les ensembles de la forme $\prod_{i\in J} U_i \times \prod_{i \not\in J} E_i$ , où J est un sous-ensemble fini de I et les $U_i$ sont des ouverts de $E_i$ .
On définit les ouverts de E comme les réunions (finies ou infinies) de rectangles ouverts.
On montre que c'est bien une topologie, et que c'est la topologie la moins fine qui rende continue les projections sur les $E_i$ .

Dans le cas qui nous intéresse, $I = \mathbb{N}$ et pour tout i, $E_i = \mathbb{N}$ muni de la topologie discrète, donc un rectangle ouvert de $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ a un nombre fini de composantes qui sont des parties quelconques de $\mathbb{N}$ , et les autres qui sont égales à $\mathbb{N}$ , et les réunions de tels rectangles sont aussi de cette forme.

Posted by: Zapata

J'édite mon message suite à la réponse de ABC, ceci était pour legéniedesalpages :
Tu as tout à fait raison, mais en fait si tu veux on définit la topologie produit afin que les projections soient continues, c'est un axiome, donc inutile de le démontrer. Ce que tu as fait est donc évidemment juste et tu exprimes bien ce que je veux dire par ouverts élémentaires.
Ce que j'entends par prop universelle, c'est que si tu as
f une appli de T dans X x Y, et que pr : X x Y dans X (projection sur X) et pr : X x Y dans Y (les projections sont donc continues) et que les deux pr°f (pr "rond" f) sont continues, alors f est continue.
Cela est valable aussi dans le cadre d'un produit quelconque d'espaces, en particulier IN^IN.

Le but de ma question est en fait de montrer que II est homéomorphe à IN^IN muni de la topologie produit (beau résultat, sachant que II n'est pas dénombrable...).
Après avoir construit une appli f bien particulière, je voudrai montrer qu'elle et son inverse (qui existe car j'ai montré que c'etait une bijection) sont continues. Je voulais utiliser le fait que IN^IN est discret pour la topologie produit mais ça ne marche pas, (puisque les parties de IN^IN ne sont pas ouvertes pour cette topologie). Donc je cherche une autre méthode.
Pour cela, je voulais simplement avoir un peu d'aide pour "décrire" les ouverts de IN^IN, car je voudrai montrer que si j'ai une boule ouverte dans II, alors son image inverse est un ouvert dans IN^IN, afin de montrer la continuité de f...
Ouf ! J'y arrive !
Mais je n'ai hélas pas le temps de détailler plus mon travail, ni le fameux "f" en question. Si ça t'intéresse (car c'est très intéressant), je pourrai toujours scanner le travail et son énoncé... Mais pas pour le moment, je n'ai pas le matériel adéquat.
Merci en tout cas pour ton aide, je ne m'exprime pas toujours très clairement !

Oui, tu as tout a fait raison ABC, les ouverts sont bien de cette forme là !

Posted by: legeniedesalpages

désolé j'ai cru que c'était ce que tu voulais montrer, surtout que dans mon cours ce n'est pas un axiome mais une propriété immédiate, je n'ai étudié que les produits finis d'espaces et la topologie dessus est défini avec des ouverts élémentaires d'une façon similair aux rectangles de abcd22.

Par II tu sous-entends l'ensemble des irrationnels?

Posted by: Zapata

Pas de soucis ! j'étais pas très clair non plus.
Oui II c'est bien les irrationnels, c'est un I avec une double barre mais II ne rend pas très bien...
Et donc c'est bien dans le cadre infini qu'il y a une différence entre la topologie boite et topologie produit...
Dans la définition de abcd22, pour la topo boite, le J peut-être infini. Alors que pour la topo produit non.

La topologie c'est trop fort !

Posted by: legeniedesalpages

vi c'est trop bon la topo, mais ton problème a l'air ardu, je ne vois pas comment on peut s'y prendre pour montrer que II et IN^IN sont homéomorphes.

Posted by: Zapata

Héhé !
C'est pas facile en effet, mais avec un fil directeur ça va, en fait en gros on construit une famille d'intervalles de plus en plus petits indicée par (a,z,e,r,t,y,u,i,...) avec a,z,e,r,t,y,u,i,... qui appartiennent à IN (on voit se profiler IN^IN) et on montre qu'à "l'infini", il n'y a qu'un seul irrationnel dans chaque intervalle, et que chaque intervalle contient un irrationnel... Voilà !
Je pourrais te filer l'énoncé si tu veux. Ça vaut la peine de méditer un peu.

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par Zapata

Héhé !
C'est pas facile en effet, mais avec un fil directeur ça va, en fait en gros on construit une famille d'intervalles de plus en plus petits indicée par (a,z,e,r,t,y,u,i,...) avec a,z,e,r,t,y,u,i,... qui appartiennent à IN (on voit se profiler IN^IN) et on montre qu'à "l'infini", il n'y a qu'un seul irrationnel dans chaque intervalle, et que chaque intervalle contient un irrationnel... Voilà !
Je pourrais te filer l'énoncé si tu veux. Ça vaut la peine de méditer un peu.

lol, une famille d'intervalles indexée par un clavier.

Oui quand t'as un peu de temps je veux bien que tu me passes l'énoncé, ça m'intéresse.

Posted by: ThSQ

Quelques remarques probablement redondantes par rapport à vos nombreux posts, mais bon, c'est de la topo, je peux pas résister

Les projections sont toujours continues (on a défini la topo produit pour ça).

Une base fondamentale de voisinages d'une suite x=(x_n) de N^N (avec ta topologie) est constituées des ensembles de suites y=(y_n) qui coïncident avec x_n sur (au moins) un nombre fini d'indices (d'où la convergence simple).

Avec la topologie boite sur N^N n'est pas très intéressante car c'est elle coïncide alors avec la topologie discrète !

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Une base fondamentale de voisinages d'une suite x=(x_n) de N^N (avec ta topologie) est constituées des ensembles de suites y=(y_n) qui coïncident avec x_n sur (au moins) un nombre fini d'indices (d'où la convergence simple).

Comment tu vois ça?

Posted by: Zapata

Ça y est les gars, j'ai réussi à finir mon travail ! Je suis super content, j'ai trouvé une belle solution tout seul... héhé !
Effectivement ThsQ, un voisinage d'une suite est ce que tu dis, pour le voir, il suffit d'appliquer la définition de abcd22.
Et tu prends comme U_i les premiers naturels de la suite communs (qui sont ouverts pour la topo discrète)

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par Zapata

tout seul... héhé !

Je suis sûr que ça va faire super plaisir à ceux qui ont essayé de t'aider ...

Posted by: Zapata

Ah non non non, c'est pas du tout pédant et je suis très content d'avoir eu cette discussion avec vous, ne te méprends pas. Mais ce que je voulais faire au départ, et qui était la raison d'ouverture de ce topic, ne marchait pas (je voulais utiliser le fait qu'une appli d'un espace discret dans un espace topo est toujours continue). J'ai fini par trouver une solution de mon problème d'un tout autre coté, qui n'a pas été abordé ici. Et je voulais simplement vous communiquer ma joie de l'avoir trouvé "tout seul", bien qu'effectivement, le fait de réfléchir sur une mauvaise piste, et que vous m'aidiez à l'explorer, est tout de même une aide considérable.
Voilà je ne voudrai pas que ma remarque soit mal interprétée, ce n'est pas du tout dans le but de me mettre en avant (je suis bien conscient du fait que je suis extrêmement loin d'être un bon...), juste que je suis très content !
Et un grand merci à tous ceux qui ont participé !