Oscillations libres et fonction linéaire.

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Posted by: Lagalère

Bonjour, l'exercice, ci-dessous, me pose des complications:

Un solide de masse m= 292 g et de centre d'inertie G peut coulisser sans frottements le long d'une tige horizontale. Il est attaché à un ressort horizontal de constante de raideur k= 8,0 N.m(-1). L'élongation du système à la date t est repérée sur un axe (Ox) parallèle à la tige. L'origine O de cet axe correspond à la position du centre d'inertie G du solide lorsque le système est au repos.
http://i29.servimg.com/u/f29/10/06/63/69/sans_t10.jpg
1/ a) Faire l'inventaire des forces appliquées au solide à la date t; les représenter sur un schéma.
b) Etablir l'équation différentielle du mouvement du centre d'inertie G.
c) Déterminer l'expression littérale de T° pour que la solution de cette équation différentielle soit: x= xm*cos((2pi/ T°)*t + phi°), avec °= O.
d) L'enregistrement de l'élongation en fonction du temps a permis de construire le graphique ci-dessous:
http://i29.servimg.com/u/f29/10/06/63/69/sans_t11.jpg
Déterminer graphiquement les valeurs numériques des grandeurs xm et T°. Déterminer la valeur numérique de phi°.
e) Montrer que l'un des résultats précédents est en accord avec les valeurs numériques de m et k.
2/ a) Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les couples (x;¨x) obtenus à partir des valeurs expérimentales:
http://i29.servimg.com/u/f29/10/06/63/69/sans_t12.jpg
Montrer que l'allure de ce graphique est en accord avec l'équation différentielle précédente.
b) Quelle est l'expression littérale du coefficient directeur de la droite obtenue?
c) Montrer que la valeur numérique du coefficient directeur est en accord avec la valeur expérimentale trouvée pour la période T°. Attention aux unités; exprimer x en mètre.

Pour l'instant , j'ai trouvé:
1/ a) A la date t, le solide est soumis à l'action de son poids, de la réaction du sol (perpendiculaire au sol puisque les frottements sont négligés) et de la force de rappel du ressort. Le sens de ce dernier dépend de l'extension ou de la compression du ressort.
b) D'après la 2ème loi de Newton, dans le référentiel terrestre: vect F+ vect P+ vect R= m* vect aG.
En le projetant sur (Ox), avec vect F= -k*x vect i, on obtient: -k*x +0 +0= m*¨x, soit ¨x+ (k/m)*x= 0.
c) xm: amplitude des oscillations, phi°= phase à l'origine et T°= période propre de l'oscillateur.
Mais, je n'arrive pas, à déterminer l'expression littérale de T° et les autres questions me posent problème.

Toute aide est la bienvenue et je vous remercie, pour celle que vous voudriez bien m'apporter.


Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:
Posté par Lagalère
Pour l'instant , j'ai trouvé:
1/ a) A la date t, le solide est soumis à l'action de son poids, de la réaction du sol (perpendiculaire au sol puisque les frottements sont négligés) et de la force de rappel du ressort. Le sens de ce dernier dépend de l'extension ou de la compression du ressort.

Réaction du sol ? Quel sol?

Citation:
b) D'après la 2ème loi de Newton, dans le référentiel terrestre: vect F+ vect P+ vect R= m* vect aG.
En le projetant sur (Ox), avec vect F= -k*x vect i, on obtient: -k*x +0 +0= m*¨x, soit ¨x+ (k/m)*x= 0.

oui
Citation:
c) xm: amplitude des oscillations, phi°= phase à l'origine et T°= période propre de l'oscillateur.

Mais, je n'arrive pas, à déterminer l'expression littérale de T° et les autres questions me posent problème.

Toute aide est la bienvenue et je vous remercie, pour celle que vous voudriez bien m'apporter.

Pour trouver l'expression de la période propre, tu dois d'abord calculer dx/dt, la dérivée de la fonction solution, puis sa dérivée seconde d²x/dt². Tu obtiendras aisni une relation entre d²x/dt² et x. Il te restera à identifier membre à membre avec l'équation différentielle d²x/dt²= -(k/m)x et tu trouveras T0


Posted by: Lagalère

Citation:
Posté par Dominique Lefebvre
Pour trouver l'expression de la période propre, tu dois d'abord calculer dx/dt, la dérivée de la fonction solution, puis sa dérivée seconde d²x/dt². Tu obtiendras aisni une relation entre d²x/dt² et x. Il te restera à identifier membre à membre avec l'équation différentielle d²x/dt²= -(k/m)x et tu trouveras T0

Ce qui permet de trouver, avec V= racine carré:
T°= 2pi* V(m/k).
T°= 2pi* V(0,292/8,0)= 1,20 s.


Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:
Posté par Lagalère
Ce qui permet de trouver, avec V= racine carré:
T°= 2pi* V(m/k).
T°= 2pi* V(0,292/8,0)= 1,20 s.

C'est bon!


Posted by: Lagalère

Je vous suis reconnaissant pour l'aide apportée et le temps passé.










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