Ordre d'un élément

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: Aspx

Bonjour !

Je bloque sur un exercice sur les groupes.
Soit G un groupe de cardinal pq avec p et q deux nombres premiers distincts.
Montrer qu'il existe au moins un élément d'ordre p et un d'ordre q.

Merci d'avance !


Posted by: nuage

Salut,
en notant le groupe G multiplicativement.
Soit a\neq 1 un élément de G, a n'est pas d'ordre 1, quel est l'ordre de a^p ?
Sachant que l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe.


Posted by: yos

Citation:
Posté par nuage
Soit a\neq 1 un élément de G, a n'est pas d'ordre 1, quel est l'ordre de a^p ?
Sachant que l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe.

1 ou q ??
Sans Sylow il faut travailler un peu non. A-t-on droit à Sylow?


Posted by: Aspx

ord(a^p)=\frac{ord(a)}{ord(a) \wedge p}
Puis vu que ord(a) | pq il est égal à p,q ou pq car p \wedge q = 1

Si ord(a)=pq il me semble bien qu'alors ord(a^p)=q
Sinon ord(a)=p ou ord(a)=q<br />
Le problème c'est que, sauf érreur, ce raisonnement ne montre pas qu'il existe un élement d'ordre p ET un d'ordre q.


Posted by: Aspx

Citation:
Posté par yos
1 ou q ??
Sans Sylow il faut travailler un peu non. A-t-on droit à Sylow?


Non Sylow n'est pas au programme de spé.


Posted by: nuage

On a donc l'existence d'un élément d'ordre p (quitte à échanger p et q).
Soit b cet élément.
On considère la relation \mathcal{R} définie par x\mathcal{R}y ssi bx=by.
Et normalement ça roule.
Sauf erreur de ma part.


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par Aspx
Bonjour !

Je bloque sur un exercice sur les groupes.
Soit G un groupe de cardinal pq avec p et q deux nombres premiers distincts.
Montrer qu'il existe au moins un élément d'ordre p et un d'ordre q.

Merci d'avance !


Ca peut se faire avec le théorème de Cauchy :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...e_des_gro upes)
qui se démontre de manière assez "élémentaire".


Posted by: Aspx

Merci ThSQ mais c'est à mon avis écraser une mouche avec un bulldozer... On a ici des hypothèses très fortes que je rappelle : p et q sont premiers et distincts ! (#G=pq)


Posted by: ThSQ

Le lemme de Cauchy c'est pas vraiment un bulldozeur ...

Fais le à la main alors ! (c'est une imitation de Cauchy en fait)

Les éléments dont d'ordre p, q ou pq (+ o(e) = 1 oeuf corse).
S'il y a un élément d'ordre pq il y a des éléments d'ordre p et q (clair).

Si tous les éléments != e sont d'ordre p. Tu regroupes les éléments en groupes cycliques d'ordre p (sauf e ils sont tous dans l'un d'eux). Deux ss-groupes d'ordre p sont confondus ou d'intersection triviale.

Tu écris que la somme des (ordres des groupes - 1) + 1 ça fait pq + un peu d'arithmétique.


Posted by: yos

Citation:
Posté par ThSQ
Tu écris que la somme des (ordres des groupes - 1) + 1 ça fait pq + un peu d'arithmétique.

Mais ça coince un peu si p-1|q-1.


Posted by: ThSQ

Ca marche aussi :

q(p-1)+1 < pq < (q+1)(p-1)+1


Posted by: yos

si p-1|q-1, on a p < q donc pq > (p-1)(q+1)+1.


Posted by: SimonB

Sans le lemme de Cauchy, on peut montrer par l'absurde que les éléments distincts de 1 sont tous d'ordre p ou q.

Si tu connais les groupes quotients ça marche tout seul !

Je suis ennuyé parce que je me souviens avoir lu une (jolie) solution d'algèbre linéaire à ce problème, mais je ne me rappelle plus exactement comment ça marchait


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par yos
si p-1|q-1, on a p < q donc pq > (p-1)(q+1)+1.


Ouais c'est complètement nimp' mon truc ....


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par SimonB
Si tu connais les groupes quotients ça marche tout seul !


Mais comment montrer de façon 100% élémentaire qu'il y a un sous-groupe distingué ?


Posted by: yos

Je vois pas en quoi cet exercice est plus simple que Cauchy.
On peut montrer Cauchy en général et particulariser à n=pq. Ca doit se faire par récurrence en utilisant l'équation aux classes. Il y a une autre méthode qui fait agir G sur la partie de G^p formée des p-uplets (x_1,...,x_p) vérifiant x_1...x_p=e. Il faut connaître un minimum de choses (action de groupe).

Si q=2, donc groupe d'ordre 2p, on peut argumenter : si tous les éléments sont d'ordre 2, G est abélien et on conclut aisément.


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par yos
Je vois pas en quoi cet exercice est plus simple que Cauchy.


Entièrement d'accord (Cauchy ça reste très élémentaire cf lien sur wiki) mais Aspix semble vouloir une preuve 100% sans Cauchy, Sylow, ...


Posted by: Aspx

Citation:
Posté par ThSQ
Entièrement d'accord (Cauchy ça reste très élémentaire cf lien sur wiki) mais Aspix semble vouloir une preuve 100% sans Cauchy, Sylow, ...

Une preuve 100% programme de spé pour être plus clair
(je dis pas que la preuve par Cauchy n'est pas compréhensible d'un élève de spé mais que l'exercice est faisable sans connaître ces engins)


Posted by: SimonB

Citation:
Posté par ThSQ
Mais comment montrer de façon 100% élémentaire qu'il y a un sous-groupe distingué ?


Tiens, effectivement, si j'avais lu l'énoncé j'aurais vu que G n'est pas supposé abélien...

My mistake. Au lit.










-