oral type X-ENS

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Posted by: abel

Bonjour à tous.
Voilà je sèche sur une planche de X-ENS depuis 2-3h et j'aimerais bien que quelqu'un m'aide à demarrer. Sachant que je sais que cet exo présente des aspcts un peu trop limite du programme mais il est quand meme abordable parait-il.Voilà l'énoncé :

A,B \in M_{n}(\mathbb{R}) symétriques avec

sp(A),sp(B) \subset \mathbb{R}^{\ast}+ (erreur corrigée)

Montrer que :
Det(A)^{\frac{1}{n}} + Det(B)^{\frac{1}{n}} \leq Det(A+B)^{\frac{1}{n}}

Etudier le cas d'égalité.

Moi j'ai bien sûr exploité la diagonalisabilité de A mais je ne vois pas comment exploiter celle de B en meme tps. Je n'arrive pas non plus à utiliser le fait que le spectre est strictement positif


Posted by: Mike_51

pourquoi ne peut-il pas être négatif le spectre?


Posted by: abel

Je n'en sais rien c'est dans l'énoncé donc ça doit avoir son importance...


Posted by: yos

"C'est dans l'énoncé " mais tu l'avais pas dit il me semble.
Dans ce genre de truc, il faut définir le produit scalaire de R^n à l'aide de l'une des matrices (celle qui est définie>0, i.e. qui a des vp>0). Puis diagonaliser la seconde matrice ds un repère orthogonal pour la première. Du coup tu auras une base de R^n qui diagonalise les deux matrices en même temps.


Posted by: abel

Merci bcp, je ne savais pas qu'on pouvais diagonaliser les 2 en meme temps. Je vais essayer de le faire en admettant ton résultat qui a l'air de tomber l'exo...


Sinon, c'est quoi la démarche pour prouver ceci ???


Posted by: hans

Ce n'est pas exactement diagonaliser: si c'était le cas ca voudrait dire que toutes les matrices symétriques commutent entre elles:
c'est juste trouver P \in GL_n(\mathbb R ) telle que
^{t}PAP=I_n et ^{t}PBP=D ou D est une matrice diagonale, P n'appartenant pas nécessairement au groupe orthogonal.
Les propriétés du déterminant font qu'on peut éliminer P pour conclure.


Posted by: mln

Bonsoir,
Si on avait au moins une valeur propre négative, det(A)^(1/n) pourrait etre complexe.
Ca évite aussi de prendre B=-A où l'inégalité n'est pas toujours vraie.


Posted by: abel

Je suis d'accord que ton résultat tombe l'exo mais le truc c'est que je ne vois pas d'où vient ce résultat...ni comment le démontrer...
Merci pour l'aide en tous cas


Posted by: hans

Revois la démonstration de la diagonalisabilité des matrices symétriques réelles en remplacant partout (|) par le produit scalaire associé à A et tu verras ca marche.


Posted by: yos

Citation:
Posté par hans
Ce n'est pas exactement diagonaliser: si c'était le cas ca voudrait dire que toutes les matrices symétriques commutent entre elles.

C'est juste, j'ai pas été très propre.


Posted by: abel

On a démontré ce lemme ce matin pour corriger l'exo, et on a parlé un peu des matrices congruentes...Je comprend mieux maintenant.











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