Mathématiques - Oral du CAPES

Oral du CAPES
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Posted by: marie49

Bonjour à tous!

Je suis admissible au capes de mathématiques, mais n'ayant pas fait de prépa capes (je suis en maîtrise), je commence tout juste à préparer les oraux.

Je suis en train de regarder la leçon 76 : "Primitives d'une fonction continue sur un intervalle; Définition et propriétés de l'intégrale; Inégalité de la moyenne; Applications"

Dans la première partie, je définis la notion de "primitive" et je met un théorème : "Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I"
Doit-on vraiment prouver ce théorème?
Parce que j'ai beau me creuser la tête je ne vois pas comment démontrer ça en me plaçant au niveau terminale.

En même temps, je m'imagine mal ne pas le prouver sachant que c'est un résultat clé dans cette leçon.

J'ai cherché un peu et toutes les démonstrations que j'ai vues utilisent le fait que : "toute fonction continue est limite uniforme de fonctions affines par morceaux".

Est-ce qu'il y a d'autres démonstrations qui se rapprochent plus du niveau lycée? Ou est-ce que je dois vraiment utiliser celle la? Ou alors, pas de démonstration?

Merci d'avance pour vos conseils.

Posted by: abcd22

Bonjour,
Pour la leçon il ne me semble pas qu'il faille se placer au niveau du secondaire, le rapport du CAPES de 2007 dit que « Les candidats peuvent faire appel à l'intégralité du programme complémentaire (titre B) au cours de cette épreuve, que ce soit pendant leur exposé ou pendant l'entretien avec le jury. ». C'est pour l'autre oral qu'il ne faut utiliser que les connaissances au programme du secondaire.

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par marie49

Dans la première partie, je définis la notion de "primitive" et je met un théorème : "Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I"

J'ai cherché un peu et toutes les démonstrations que j'ai vues utilisent le fait que : "toute fonction continue est limite uniforme de fonctions affines par morceaux".

voiçi une démo niveau bac+1.

on pose $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t)dt$ et $h>0$ .

f étant continue sur l'intervalle fermé,borné $[x_{0},x_{0}+h]$
f est bornée et atteint ses bornes sur cet intervalle.
Il existe $\xi_h\in [x_{0},x_{0}+h]$ et $\mu_h \in [x_{0},x_{0}+h]$ tels que:
$\displaystyle f(\xi_h) \leq \frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\int_{x_0}^{x0+h} \, f(t)dt \leq f(\mu_h)$

d'où $F'_{d}(x_0)=f(x_0)$ par continuité de f en $x_0$ .

L'intégrale, elle, est définie par une quadrature, ie, une somme de Riemann
ou de Darboux, comme tu l'as souligné implicitement (f, limite uniforme de fonctions en escalier).
Notons que f est aussi limite uniforme de polynomes de Bernstein
(la formule est explicite et doit s'intégrer) ce qui peut conduire à une autre démo.
Mais le théorème de Bernstein, dont la démo utilise la continuité uniforme d'une fonction continue sur un intervalle compact, est au moins au programme de bac+1.

Posted by: yos

Au lycée on fait semblant de tout démontrer :
1) Intégrale d'une fct C° positive = aire sous la courbe puis extension à l'intégrale d'une fct C° et à a>b.
2) Propriétés des intégrales (linéarité, Chasles, ordre).
3) Intégrale dépendant de sa borne sup = primitive de f.

Pour le 1) on ne soulève pas de question genre "c'est quoi l'aire d'une partie du plan?". Au niveau Capes je ferais pareil, tout en montrant ma conscience de l'impasse.
Pour le 2), on fait des preuves partielles (fcts positives, a<c<b pour Chasles ...). Par contre au Capes il faut montrer qu'on peut être propre et complet.
Pour le 3), on le prouve pour f monotone. Là aussi, il faut savoir le faire correctement pour f C°.

Posted by: emdro

Bonsoir,

je suis d'accord avec abcd22: il n'est pas vraiment question de faire un cours de terminale à l'oral du capès.

Mais dans le cas présent, à ta place, je dirais que le théorème est admis (j'ai vérifié dans mes fiches, c'est ce que j'avais décidé). Il me semble beaucoup plus intéressant de préciser:
*qu'il existe des fonctions non continues qui ont des primitives (et d'en citer une)
*de donner un exemple de fonction n'admettant pas de primitive (la partie entière est idéale).

Pose toi plutôt la question de savoir dans ce dernier cas si tu fais la démonstration, ou si tu la gardes en réserve au cas où on te la demanderait.

Il est beaucoup plus instructif pour le jury de capès de te voir capable de placer une leçon à un niveau concret, avec des contre-exemples, des fonctions types... que de faire de grandes démonstrations d'un théorème qui n'apportent pas grand chose finalement.

En tout cas, bonne chance.

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par emdro

*qu'il existe des fonctions non continues qui ont des primitives (et d'en citer une)

exemple:
$\displaystyle x \rightarrow F(x)=x^2 \sin(\frac{1}{x})$

n'a pas une dérivée continue.

Citation:

Posté par emdro

*
*de donner un exemple de fonction n'admettant pas de primitive (la partie entière est idéale).

Il y a un théorème (dont j'ai tout oublié), qui dit qu'une condition nécessaire pour que f soit une dérivée est qu'elle vérifie le TVI.

Posted by: nuage

Salut,

Citation:

Posté par emdro

*de donner un exemple de fonction n'admettant pas de primitive (la partie entière est idéale).

je te déconseille cet exemple car la fonction partie entière admet évidement des primitives (fonction en escalier).
C'est un coup à se faire jeter.

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par nuage

Salut,

je te déconseille cet exemple car la fonction partie entière admet évidement des primitives (fonction en escalier).

je ne pense pas. E(x) ne vérifie pas le TVI.

ses "primitives" , affines par morceaux, ne sont pas dérivables sur $\mathbb{R}$

$\displaystyle \int_{0}^{x} \, E(t) dt$

Par exemple, dans Gourdon, les maths en tête, "Analyse" p76,

Soit I un intervalle de $\mathbb{R}$ et f dérivable sur I.
f ' vérifie la propriété des valeurs intermédiaires,c'est à dire, f '(I) est un intervalle.

C'est un théorème très curieux: les fonctions (définies sur un intervalle) ne vérifiant pas le TVI, n'ont pas de primitives.

Posted by: emdro

Citation:

Posté par nuage

Salut,

je te déconseille cet exemple car la fonction partie entière admet évidement des primitives (fonction en escalier).
C'est un coup à se faire jeter.

C'est plutôt ce genre de "évidemment" qui te conduiront directement à la sortie...

Posted by: marie49

Merci à tous pour vos conseils!

Je pense que je ne vais pas faire la démonstration pendant mon exposé (trop long : on a que 25 minutes), mais je vais la garder de côté au cas où le jury me la demanderait!

Merci aussi pour vos exemples c'est vrai que je n'avais même pas pensé à dire qu'il y avait des fonctions non continues qui admettaient une primitive.

Je retourne à mes révisions; il ne me reste qu'un peu plus de 15 jours et pour l'instant je n'ai fait que 6 leçons sur 81

Y a encore du boulot!!

Posted by: busard_des_roseaux

salut Marie,

j'espère que tu as compris la problèmatique:

le lien entre primitive F et la fonction

$\displaystyle x \rightarrow \int_{a}^{x} \, f(t)dt$

les problèmes commencent quand $f$ est intégrable
(il y a de nombreuses définitions possibles selon les auteurs, Riemann,
Stieltjes, intégrale généralisée, Lebesgue,Denjoy..)

mais non continue.