Mathématiques - Optimisation

Optimisation
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Posted by: Diaz

Bonjour à tous !

S’il vous plaît, je nécessite votre aide. En effet, j’ai un devoir d’optimisation la semaine prochaine ; je suis en train de le préparer en traitant d’anciennes épreuves. Cependant, j’éprouve de grosses difficultés car j’ai été très malade durant une bonne partie du déroulement de ce cours ; en plus, ces épreuves ne sont pas très faciles. Par conséquent, vous me rendriez un très grand service pour lequel je vous serais infiniment reconnaissant si vous m’en fournissez les corrigés.

Merci d’avance.
N.B: J'ai saisi les épreuves dans Word, à l'aide du logiciel MathType;lorsque j'ai essayé de faire un copier-coller vers cette page,les formules tapées à l'aide de MathType ont disparu,comme vous pouvez le constatez dans l'énoncé qui suit:comment faire,s'il vous plaît?

EPREUVE 1:

Exercice 1 :
Soit A une matrice symétrique définie positive (n ,n), B une matrice (p,n) de rang p et c .
a) Montrer que la matrice est inversible.
b) On considère le problème suivant : =inf [<c,x> : Bx=0,<Ax,x> ≤1].
Caractériser les solutions optimales de ce problème dans les deux cas suivants : c ( ) et c ( ).

Exercice 2 :
Soit C l’ensemble de défini par : C={(x1,x2) :x1+x2≤1,x1≥0,x2≥0}, et
f : → définie par f(x1,x2)=-x1-2x2-2x1x2+ +
1) La fonction f est-elle convexe ? concave ?
2) On considère (P) le problème de minimisation de f sur C.
a) Montrer que tout minimum, même local, de f se trouve sur la frontière Fr(C) de C.
b) Déterminer le cône tangent à C en ( T(C, ) ) et le cône normal à C en ( N(C, ) ) en tout point de Fr(C).
En déduire qu’il n’existe qu’un seul point de C vérifiant la condition nécessaire de minimalité du 1er ordre. Déterminer l’unique solution du problème (P).
3) Résoudre le problème de maximisation de f sur C.

Exercice 3 :
On considère le problème suivant : =inf [<c,x> : x≥0,Ax=a]
où c , a , A est une matrice (p,n) de rang p. On suppose en outre que
E={x : x≥0, Ax=a} est compact et Ê={x : x>0, Ax=a}est non vide.
a) Ecrire son problème dual.
Soit >0 donné ; on considère la fonction : f (x)= <c,x>- .
b) Montrer que le problème Inf [f (x) :x>0, Ax=a] admet une solution optimale et une seule. On la notera par .
c) Ecrire les conditions d’optimalité pour ce problème. Déduire de ces conditions et de la question a) l’inégalité : <c, > ≤ + n.
Soit x Ê ; on note X la matrice diagonale telle que Xii=xi pour tout i et e le vecteur de dont toutes les composantes sont égales à 1. On considère l’approximation du second ordre g de f au voisinage du point x :
g(x+d)= f (x)+< f (x),d>+< f (x)d,d>.
Soit d la solution optimale du problème Inf[g(x+d) : Ad=0] et .
d) Ecrire les conditions d’optimalité. Montrer que : || || +<c,d>- <e, > =0.
e) Soit et t>0 suffisamment petit pour que les fonctions soient bien définies.
Montrer que :
En déduire que : , puis, que pour un bon choix de t,

Posted by: Flodelarab

Panique pas.

Où bloques tu?

Posted by: Diaz

Merci pour ton intérêt,Flodelarab:comme je l'ai dit plus haut, lors du copier-coller,je perds des formules! C'est rageant, vu le temps fou que j'ai pris à saisir ces exercices! Y a-t-il un moyen d'insérer un texte sous forme d'image sur ce site?Si oui, je n'aurais qu'à enregistrer l'énoncé sous forme de fichier image et l'insérer ensuite,afin que vous puissiez y avoir accès.

Posted by: Flodelarab

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Posté par Diaz

Merci pour ton intérêt,Flodelarab:comme je l'ai dit plus haut, lors du copier-coller,je perds des formules! C'est rageant, vu le temps fou que j'ai pris à saisir ces exercices! Y a-t-il un moyen d'insérer un texte sous forme d'image sur ce site?Si oui, je n'aurais qu'à enregistrer l'énoncé sous forme de fichier image et l'insérer ensuite,afin que vous puissiez y avoir accès.

Oui. Tu cliques sur l'icone qui va bien dans la barre d'outils (a coté de la planete pour l'insertion de lien) et tu rentre l'URL de l'image (son emplacement)

Sinon, au lieu de tout taper sous word, tu aurais directement fait du latex sur ce site, tu aurais rien a refaire.

Posted by: Diaz

Merci de te t'occuper de moi,Flodelarab!
Toutefois,regarde ce qui s'affiche quand j'insère l'emplacement de l'image:[IMG]F:\EPEUVE 1.gif[/IMG]
Que faire dans ce cas?

Posted by: Flodelarab

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Posté par Diaz

Merci de te t'occuper de moi,Flodelarab!
Toutefois,regarde ce qui s'affiche quand j'insère l'emplacement de l'image:[IMG]F:\EPEUVE 1.gif[/IMG]
Que faire dans ce cas?

Et qu'est ce qu'on fait quand tu pars ?
Tu te rends bien compte que ton lecteur F: n'est pas disponible en permanence pour nous.
Il faut faire héberger ton image sur le web. Ceci de sort qu'on puisse toujours voir ton image.

Posted by: Diaz

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Posté par Flodelarab

excuse-moi si ça te parait idiot,mais:comment faire cela,s'il te plaît?

Posted by: Flodelarab

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Posté par Diaz

excuse-moi si ça te parait idiot,mais:comment faire cela,s'il te plaît?

Sois tu fais héberger ton image par ton site
ou alors par un site FTP
ou alors tu peux ICI

Posted by: Diaz

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Posté par Flodelarab

Sois tu fais héberger ton image par ton site
ou alors par un site FTP
ou alors tu peux ICI

Merci beaucoup!J'ai suivi tes consignes:as-tu enfin reçu les exercices en questions?S'il y a autre chose à faire,je suis dans l'attente de tes autres consignes!
Merci encore!
N.B:Il y a 4 épreuves de 2 ou 3 exercices chacune.

Posted by: Diaz

Au fait,j'ai déjà pu résoudre:
-l'exercice 2 de l'épreuve 1
-l'exercice 1 de l'épreuve 2
-l'exercice 1 de l'épreuve 4
Vous voyez donc que,bien que vous ayant soumis ces exercices,je continue à les chercher de mon côté.
Mon examen d'optimisation a lieu lundi surprochain:cela vous laisse le temps de m'apporter,si vous le voulez bien,votre précieuse aide sur ces exercices.
Merci d'avance pour tout!

Posted by: Flodelarab

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Posté par Diaz

as-tu enfin reçu les exercices en questions?

????

Pkoi aurais-je dû recevoir quelque chose ?
Tu fais héberger tes images par un site web et tu utilises [IMG][/IMG] pour la faire afficher sur le forum.

Posted by: Diaz

Merci:tu es un ange!
Voici la première épreuve:

[IMG]http://img95.imageshack.us/img95/85...euve1hm7.th.gif[/IMG]

Posted by: Diaz

Deuxième épreuve:

[IMG]http://img218.imageshack.us/img218/...euve2ia7.th.gif[/IMG]

Posted by: Diaz

Troisième épreuve:

[IMG]http://img214.imageshack.us/img214/...euve3ph5.th.gif[/IMG]

Posted by: Diaz

Quatrième et dernière épreuve:

[IMG]http://img214.imageshack.us/img214/...euve4ut2.th.gif[/IMG]

Posted by: Diaz

Comme je l'ai dit plus haut,bien que vous ayant soumis mes difficultés,je continue à chercher.La preuve est que j'ai déjà pu résoudre les exercices suivants:
-l'exercice 2 de l'épreuve 1
-l'exercice 1 de l'épreuve 2
-l'exercice 1 de l'épreuve 4
Chaque épreuve comporte 2 ou 3 petits exercices(petits par la longueur et non par la complexité).Mon examen ayant lieu le lundi 26 mars, cela laisse le temps aux âmes généreuses et disponibles telles que Flodelarab pour m'apporter leur présieuse aide!
Merci d'avance à tous!

Posted by: Flodelarab

Dis nous plutôt quelle question précise bloque plutôt que nous dire ce que tu as fait.

Posted by: Diaz

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Posté par Flodelarab

Dis nous plutôt quelle question précise bloque plutôt que nous dire ce que tu as fait.

Que t'ai-je fait pour que tu sois aussi froid avec moi?Je t'ai dit que,à cause de problèmes de santé,j'ai dû manquer plusieurs séances de ce cours d'optimisation et que,par conséquent,j'ai de nombreuses lacunes actuellement:est-ce de ma faute?Si je mentionne les exercices que j'ai déjà pu traiter,ne pourrais-tu pas comprendre par là que je n'ai même pas pu commencer le reste?En effet,tu peux noter que dans la plupart de ces exercices,les questions s'enchaînent de sorte que si l'on n'arrive pas à traiter les premières questions,l'on ne peut pas faire le reste;comme illustration de mes propos,tu pourrais considérer l'exercice 1 de l'épreuve 2:comment pourrais-je traiter la 2ème question alors que la première m'a mis KO?Je passe mon examen lundi prochain,le 26.Je n'ai que très peu de temps pour me préparer;je me suis rabattu sur ces anciennes épreuves car mon professeur s'en inspire beaucoup:c'est ma seule chance pour éviter une note catastrophique.Par conséquent,s'il te plaît,puisque tu es la seule personne à s'être occupée de mes difficultés et que,de ce fait,tu m'as montré que tu voulais bien m'aider,je te prie de le faire de bon coeur et de te montrer plus aimable.
Merci encore pour ta sollicitude!
P.S:Hier,j'ai encore réussi à traiter l'un de ces exercices:l'exercice 2 de l'épreuve 2.

Posted by: Flodelarab

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Posté par Diaz

Que t'ai-je fait pour que tu sois aussi froid avec moi?

Tu te fais des idées

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Posté par Diaz

Je t'ai dit que,à cause de problèmes de santé,j'ai dû manquer plusieurs séances de ce cours d'optimisation et que,par conséquent,j'ai de nombreuses lacunes actuellement

Je suis pas aveugle

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Posté par Diaz

:est-ce de ma faute?

Probablement pas. Et alors ?

Citation:

Posté par Diaz

Si je mentionne les exercices que j'ai déjà pu traiter,ne pourrais-tu pas comprendre par là que je n'ai même pas pu commencer le reste?

En quel honneur ?
En matheux, je me tiens aux hypothèses

Citation:

Posté par Diaz

tu pourrais considérer l'exercice 1 de l'épreuve 2:comment pourrais-je traiter la 2ème question alors que la première m'a mis KO?

Tu te contredis. Tu as dit avoir fini cet exercice

Citation:

Posté par Diaz

Je passe mon examen lundi prochain,le 26.Je n'ai que très peu de temps pour me préparer;je me suis rabattu sur ces anciennes épreuves car mon professeur s'en inspire beaucoup

Bonne idée quelque soit le prof

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Posté par Diaz

P.S:Hier,j'ai encore réussi à traiter l'un de ces exercices:l'exercice 2 de l'épreuve 2.

Cooool

Bonne chance!

NB: Honnétement, je ne suis pas compétent sur pas mal de questions n'étant toujours resté que dans des cas simples d'optimisation. Cela dit, des définitions comme la convexité doivent être dans ton cours et des exercices "types" pas loin à côté.

Posted by: Diaz

L'exercice dont la première question m'a mis KO est plutôt de l'exercice 1 de l'épreuve 1.J'ai effectivement déjà traité l'exo 1 de l'épreuve 2.

Posted by: Diaz

Au fait,j'ai pu traduire mes exercices en latex,mais je n'arrive pas à les faire afficher ici.J'ai pourtant mis les balises TEX(j'ai sélectionné tout le texte,puis j'ai cliqué sur LTX en bas de la fenêtre mais ça n'a traduit que la première phrase et,ce,partiellement seulement;si c'est sur chaque formule qu'il faut mettre les balises,alors je ne pourrai pas le faire puisque,le texte étant déjà traduit en latex,je n'arrive plus à retrouver les formules saisies en Mathtype).Tout cela a l'air vraiment complexe:que faire?
Merci!

Posted by: Diaz

Décidément,l'optimisation n'a que très peu de partisans sur ce site...