Un opérateur génant

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Posted by: Moumni

Salut tout le monde:

Je me pose des questions sur un opérateur integral qui m'a tant géné et il me gène encore tant que j'ai pas lui trouver la solution. L'opérateur integral dont je parle est :
F: $L^{2}([-\tau,\tau])$ dans $L^{2}([-\tau,\tau])$ qui à tout fonction \psi associe $$F(\psi)(w)=\int_{-\tau}^{\tau}\psi (x){ \frac{\sin(\sigma (w-x))}{\pi (w-x)}}dx$$ ou $\sigma$ est un réel strictement positif.
Mes questions sont:
1) Un tel opérateur est_il défini positif et pourquoi?
2) Les fonctions propres d'un tel opérateur sont elles dénombrables? infini dénombrables, et pourquoi?
Et merci bien pour votre aide
Amicalement Moumni


Posted by: Dieudonné

Loperateur sera defini positive ssi
\frac{sin(\sigma(w-x))}{w-x} est positif sur tout l'intervalle I=]-T,T[ (sinon avec la caracteriqtique de l'ens ou elle est ngative on obtient le signe moins).
Ceci equivaut a \sigma\leq\pi (calcul rapide)

\rho(x,w)=\frac{sin(\sigma(w-x))}{w-x} est continue bornée sur ]-T,T[² (y compris qd w=x, cf fct holo) donc \rho est L^2(I\times I).
Par conseq F est un operateur compact de L²(I) (thm de Kolmogorov). Donc son spectre est denombrable (car c'est un operateur hermitien de L2 ds lui-meme).










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