Mathématiques - exo olympiade suédoise

exo olympiade suédoise
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Posted by: oss007

bonjour
Ref: Olympiades suédoises ; concours 1967
je n'ai pas la solution.

Soit (a_1,a_2,.......),une suite de nombres positifs telle que , pour tout entier n>2, on ait la relation:

(a_n)^2 >= a_(n-1) + a_(n-2) + ........ +a_2 + a_1.

Montrer qu'il existe une constante positive C telle que pour tout entier n on ait:
a_n >= C.n

Posted by: atito

C=min(a_1, a_2 /2, 1/2) , par réccurence.
Merci!

Posted by: oss007

bonjour,
je ne parviens même pas à initialiser la récurrence,
merci pour ton aide.

Posted by: atito

Voilà comment j'ai procédé:
Tu prends un C qui vérifie cela pour a_1 et a_2, puis tu utilises la récurrence forte pour trouver une condition sur C qui ne dépend pas de n, ( le n se simplifie dans l'inégalité trouvée donc c'est sûr de trouver ce n)
et tu prends C alors qui vérifie les trois conditions.
Dis moi où tu te bloques. Et j'aimerais bien savoir si t'as une idée( même si tu n'y arrives pas ..)
Merci

Posted by: oss007

bonjour
je ne m'étais pas aperçu que tu avais modifié la constante C.

Posted by: atito

Citation:

Posté par oss007

bonjour
je ne m'étais pas aperçu que tu avais modifié la constante C.

Oui désolé de ne pas le dire parce que j'avais pas remarqué le truc n > 2. Bon j'espère que le résultat est vrai.. sinon tiens moi au courant si ya quelque chose qui va pas...
merci ;-)

Posted by: atito

Pas de retour

Posted by: oss007

bonjour
comment procèdes-tu pour l'initialisation?
merci

Posted by: atito

Citation:

Posté par atito

C=min(a_1, a_2 /2, 1/2) , par réccurence.
Merci!

Pour ce C on a : a_1 > C et a_2 > 2C .

Posted by: aviateurpilot

on veux montrer que l'ensemble $4$\fbox{A=\{x=\frac{U_n}{n};n\in N*\}$ admet un plus petit element dans $R*+$

Posted by: atito

Je vois que je suis pas clair bon je vais tenter:

Prenons C=min(a_1, a_2 /2, 1/4). ( je corrige ce que j'ai écri avant)
On a a_1 > C et a_2 > 2C .

Démontrons pas racurrence forte que a_n >= C.n . pour tout n>0.

Les propriétés P(0) et P(1) étant vérifiées, soit n fixe > 2 tel que pour tout k dans [1,n] a_k>C*k et montrons que c'est vrai pour n+1.

On a : [a_(n+1)]²>= a_(n) + a_(n-1) + ........ +a_2 + a_1.
>=C ( somme(k) from 1 to n)=C*n(n+1)/2= [C*(n+1)]²* n(n+1)/(2*C*(n+1)²)

Donc faut démontrer que n(n+1)/(2*C*(n+1)²) >=1 ce qui est vrai pour C<1/4 par exemple.

CQFD.

Posted by: oss007

bonjour
je reprends ce que tu as écrit;
alors, hérédité par récurrence forte avec tes hypothèses:
$(a_{n+1})^2>=a_n+.....+a_2+a_1>=Cn+.....C2+c1=Cn(n+1)/2$
on veut : $Cn(n+1)/2>=[C(n+1)]^2$
c'est à dire:
$C<=n/2(n+1)$ pour tout n ,
or $n/(n+1)<1$ pour tout n
donc C=1/2 ( ou 1/4 par exemple ) convient.

merci de me corriger

Posted by: atito

Citation:

Posté par oss007

bonjour
or $n/(n+1)<1$ pour tout n
donc C=1/2 ( ou 1/4 par exemple ) convient.

merci de me corriger

J'ai pas dis ça du tout. D'abord c'est faux et C=1/2 ne convient pas.
Il faut justement trouver un truc style $n/(n+1)>constante$ et non pas le contraire..
Merci d'avoir pris le temps d'écrire les tags LATEX.

Posted by: oss007

bonjour
effectivement ,1/2 ne convient pas
$C=min(a_1,(a_2)/2,1/4)$

merci beaucoup pour cette solution.

Posted by: atito

De rien! c'est toujours un plaisir ;-)

Posted by: oss007

bonjour atito

en recopiant au propre , me suis aperçu d'une erreur que tu avais décelée; je reprends donc là:

rappel : l'hérédité commence pour n>=3; car la relation:
$a_n^2>=a_{n-1}+......a_1$ est vaie pour n>=3.

alors, existe-t'il C tel que ,pour tout n>=3 :C<=n/2(n+1) ?
facile de voir que :C=3/8 convient.

d'où : $C=min(a_1,(a_2)/2,3/8)$

Il me semble que là c'est bon.

Je préfère corriger ici pour que tu puisses suivre les modifications.

merci pour ta relecture.

Posted by: atito

Bon c'est ça. Sauf que C=1/4 marche aussi si je me trompe pas no?
Merci!

Posted by: oss007

oui atito, toute constante C inférieure ou égale à 3/8 convient, donc 1/4 aussi.
disons que 3/8 est le max des C qui conviennent.
merci pour ton aide efficace dans la résolution de cet exercice.
bonne journée.

Posted by: atito

Citation:

Posté par oss007

oui atito, toute constante C inférieure ou égale à 3/8 convient, donc 1/4 aussi.
disons que 3/8 est le max des C qui conviennent.
merci pour ton aide efficace dans la résolution de cet exercice.
bonne journée.

Mince! on a donc montré qu'il existe une infinité de C qui vérifie cela!!!
Merci à toi aussi ;-)