olympiade interessant: testez vos capacités

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Posted by: mathsmaroc

1) trouver ttes les fonctions définies de IR vers IR qui vérifient :
f(x)=<x
f(x+y)=<f(x)+f(y) (=< signifie inferieur ou egale)

2)soit x et y et z des réels strictement positifs montrer que :
(x²y + y²x +z²x)(xy²+yz²+zx²)>= (xy+xz+yz)^3 /3

>= signifie superieur ou egale


Posted by: ThSQ

1) x=y=0 : f(0) <= 2f(0) et donc f(0) >= 0, comme f(0) <= 0, f(0) = 0

x=-y : x >= f(x) >= -f(-x) >= - (-x) = x : f(x) = x


Posted by: ThSQ

2) <solution très nulle mais bon je suis mauvais ne inég>

Modulo une faute de frappe évidente dans l'énoncé ....

On développe tout et on applique Muirhead : 3 [3,3,0] + 2 [4,1,0] > 3 [ 3,2,1] dans la terminologie muirheadienne


Posted by: ~oa~

http://i31.servimg.com/u/f31/11/19/64/85/epreuv11.gif


Posted by: ~oa~

http://i31.servimg.com/u/f31/11/19/64/85/epreuv10.gif


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par ~oa~


Ca me parait pas tout à fait juste. La négation de de f(x)=x pour tout x (sachant que f(x) <= x) c'est pas f(x) < x pour tout x


Posted by: matheu:-)

Citation:
Posté par ~oa~

bonsoir à tous,
je crois que ta démonstration est vrai pour f(x)=valeur absolut de x


Posted by: ThSQ

|x| <= x pour tout x ?


Posted by: matheu:-)

et bien, pour x appartient à R+ :|x|<=x est vrai, et comme nous cherchons une solution dans R donc la solution comme vous avez dit f(x)=x



Posted by: ~oa~

Citation:
Posté par ThSQ
Ca me parait pas tout à fait juste. La négation de de f(x)=x pour tout x (sachant que f(x) <= x) c'est pas f(x) < x pour tout x


Salut ThSQ,
désolé mais il ne s'agit pas d'une négation !! c'est une disjonction de cas.
A+


Posted by: ThSQ

Je crois pas ... peu importe.










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