Olympiade Australienne

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Posted by: Zweig

Soit ABC un triangle et soit la bissectrice interne de l'angle A rencontrant le cercle circonscrit au point P. On définit les points Q et R d'une manière similaire.

Montrer que AP + BQ + CR > AB + BC + AC

http://img367.imageshack.us/img367/...mpaustragg2.png



Posted by: Mhdi

D'aprèsl'inégalité triangulaire :
IC+IA>AC
IB+IA>AB
IC+IB>BC
En sommant on obtient (IC+IA+IB)+(IC+IA+IB)>AB+BC+AC (*)
R, A, Q, C, P, et B appartiennent au cercle dont le centre est I. Donc,
IP=IR=IQ=IA=IB=IC
On remplace dans (*) : (IP+IR+IQ)+(IA+IB+IC)>AB+AC+BC
On sait que : AI+IP=AP
BI+IQ=BQ
CI+IR=CR

=> AP + BQ + CR > AB + BC + AC


Posted by: Imod

Attention , I est le centre du cercle inscrit dans ABC .

Imod


Posted by: Mhdi

Je me disais aussi que c'était trop facile...


Posted by: ThSQ

Très joli problème.


( En regardant les angles (bissectrice) on a R = PI = PB = PC, après on applique l'inég triangulaire (BC < BI+IC par ex) et on somme )


Posted by: Imod

Ces problèmes d'angles sont toujours très jolis car souvent bien cachés !!!

Imod


Posted by: khalilou

Citation:
Posté par Zweig
Soit ABC un triangle et soit la bissectrice interne de l'angle A rencontrant le cercle circonscrit au point P. On définit les points Q et R d'une manière similaire.

Montrer que AP + BQ + CR &gt; AB + BC + AC

slt tt le monde ;ma réponse est :
BQ+QC >=BC ET RC+RB >=BC
RC+AR >=AC ET AP+PC >=AC
BQ+AQ >=AB ET AP+BP >=AB
on fai une addition coté par coté et on obtient :
2(AP+BQ+CR)+RB+AR+AQ+QC+PC+PB >=2(AB+BC+AC)
et donc on deduit ke :
AP + BQ + CR > AB + BC + AC










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