(Z/nZ)*

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Posted by: RadarX

L'ensemble (Z/nZ)* des elements inversibles de Z/nZ ( qui est aussi egal l'ensemble des classes k+nZ tel que k et n soient premiers entre eux) est un groupe multiplicatif d'ordre phi(n) (indicateur d'euler). Et il est meme cyclique.

Alors est-ce que quelqu'un peut m'en trouver un generateur?

RadarX.


Posted by: Nightmare

Bonjour

Il y a 3$\rm \phi(n-1) générateurs. 3$\rm \hat{1} en est un


Jord


Posted by: RadarX

Je ne suis pas sur Cauchemare. cl(1) est un generatuer de (Z/nZ,+) mais non de ((Z/nZ)*, .).
A moins que tu n'aies pas compris ma question. je veux un generateur de (Z/nZ)* et non de Z/nZ.

Par ailleurs (Z/nZ, +) a phi(n) generateurs et non phi(n-1)!

Rax


Posted by: Nightmare

Es-tu sur qu'il n'y en a pas phi(n-1) ? un générateur est un élément d'ordre n-1 donc ses puissances successivent engendrent Z/nZ* il y a ainsi bien phi(n-1) générateurs. Pour cl(1) oui autant pour moi, erratum.


Jord


Posted by: Nightmare

Hum oui en fait je viens de me rendre compte que la question n'est pas si simple que ça ....

On peut démontrer que si g est un générateur alors 3$\rm g^{x}=g^{y}\Rightarrow x=y[n-1], peut être que ça peut nous aider


Jord


Posted by: RadarX

Citation:
Posté par Nightmare
Es-tu sur qu'il n'y en a pas phi(n-1) ? un générateur est un élément d'ordre n-1 donc ses puissances successivent engendrent Z/nZ* il y a ainsi bien phi(n-1) générateurs. Pour cl(1) oui autant pour moi, erratum.


Jord


Je persiste, un generateur est element d'ordre n et non n-1. Pourquoi?
car ordre de x = cardinal du ss groupe eng par x ,<x>. Or si clx engendre Z/nZ alors <clx> = Z/nZ ==> ordre de clx = card de Z/nZ qui vaut n!


Posted by: Alpha

Je confirme ce que dit RadarX dans son tout dernier message :

g est un générateur d'un groupe G ssi son ordre est égal au cardinal de G.

Notons n ce cardinal, cela veut donc dire ord(g)=n.

Ainsi,

G= { e , g , g{2} , ... , g^{n-1}}

En effet, si je commence par faire figurer g^{0}=e dans l'accolade, alors g^{n} ne peut pas figurer dans l'accolade, puisque g^{n}=g^{0}=e (la notation suppose que tous les éléments entre les accolades sont distincts).

Je suppose que c'est de là que vient la confusion.

Pour la fonciton indicatrice, de par sa définition même,

phi(n) est le nombre d'éléments du groupe (Z/nZ, x)*, c'est donc par définition le nombre d'éléments inversibles de Z/nZ pour la loi x.












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