Mathématiques - noyaux et diagonalisation

noyaux et diagonalisation
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Posted by: Mohamed

salut:

je bloque sur cet exo, j'aimerais avoir un peu de l'aide :

E un C-espace vectoriel de dimension finie, u un endomorophisme de E tel que u^2 est diagonalisable

Mq u diagonalisable <==> ker(u)=ker(u^2).

en fait, c'est l'implication réciproque qui me crée un problème..

Merci d'avance;

Posted by: yos

$u^2$ diagonalisable.
$P(u^2)=0$ où P est à racines simples.
$Q(X)=P(X^2).$
$Q(u)=0$ .
Pourquoi Q est-il aussi à racines simples? C'est là qu'on utilise l'égalité des noyaux de u et $u^2$ .

Posted by: yos

J'ai parlé trop vite. Ca marche pas.

Posted by: yos

Le problème de ma méthode c'est si 0 est valeur propre de $u^2$ , le polynôme P n'a pas de terme constant et du coup Q a 0 comme racine double. On peut contourner ce problème en remplaçant $u^2$ par $u^2+aId$ avec a convenable pour que 0 soit pas valeur propre.
Ca donne :
u^2 diagonalisable.
$u^2+aId$ diagonalisable.
$P(u^2+aId)=0$ avec P à racines simples non nulles.
$Q(X)=P(X^2+a)$
Q(u)=0.
Q n'a que des racines simples.
U diagonalisable.

Posted by: Mohamed

oui, je vois maintenant, merci yos

Posted by: yos

Rien à faire, mon truc est encore faux.
Essayons autrement.
Soit a une vp non nulle de $u^2$ , $E_a$ l'espace propre associé. Puisque u commute avec $u^2$ , il laisse stable $E_a$ et sa restriction $v_a$ à $E_a$ est annulée par $X^2-a$ qui n'a que des racines simples, donc $v_a$ est diagonalisable.Si 0 est vp de $u^2$ , on n'a pas de problème car $ker u=ker u^2$ (égalité des sous-espaces propres).
En recollant toutes les restrictions, on doit avoir u diagonalisable.

Posted by: Mohamed

si toutes les restrictions sont diagonalisables, pourquoi u sera aussi diagonalisable?

Posted by: yos

Parce que E est somme directe des espaces propres de $u^2$ .

Posted by: Mohamed

tu peux expliquer plus?

Posted by: Antho07

Je v essayé de reprendre ce qui a été dit.

L'endomorphisme u² est diagonalisable. Son polynome minimal est donc scindé à racines simples.

Ecrivons le:

$P_{u^{2}}(X)=(X-\lambda_{1})\times \ldots \times (X-\lambda_{p})$

Ceci annule u²

Par conséquent le polynome

$Q_{u}(X)=(X^{2}-\lambda_{1}) \times \ldots \times (X^{2}-\lambda_{p})$ est annulateur de u.

On va distingué 2 cas

-Premier cas: 0 n'est pas valeur propre de u²

Comme on est dans C, soit $\mu_{i}$ une racine carrée de $\lambda_{i}$ pour tout i entre 1 et p.

Le polynome Qu devient alors.

$Q_{u}(X)=(X-\mu_{1}) \times(X+\mu_{1}) \times\ldots \times (X-\mu_{p})\times (X+\mu_{p})$

Ce polynome est un polynome annulateur de u, scindé à racines simples donc u est diagonalisable.

- Deuxieme cas: 0 est valeur propre

Considerons la restruction de u à la somme des autres espaces propres de u² (ceux qui sont pas associés à la valeur propre 0).

Par le même raisonnement que le premier cas, cette restriction de u est diagonalisable. (Notons P le polynome annulateur de cette restriction de u)

Le probleme reste donc sur le sous espace propre associé à la valeur propre 0. (Autrement dit sur ker u²)
On sait que u² est diagonalisable donc que X² annule la restriction de u à ce sous espace propre.
Or ker u=ker u² donc X annule la restriction de u à ce sous espace propre.

Ainsi $X \times P(X)$ est annulateur de u (il annule u sur tous les espaces propres de u² dont la somme forme l'espace tout entier).

Or ce polynome est scindé à racine simple.

u est diagonalisable.

Tout repose sur la propriété suivante:

Un endomorphisme u de E est diagonalisable ssi il existe un polynome annulateur de u scindé à racines simples.

(ssi son polynome minimal est scindé à racines simples)

puis aussi que un endo u de E est diago ssi E s'ecrit comme somme direct des sous espaces propres de u

Posted by: yos

Antho a tout dit je pense. Moi j'avais des problèmes de connexion.

Citation:

Posté par Mohamed

si toutes les restrictions sont diagonalisables, pourquoi u sera aussi diagonalisable?

Tu as donc $E=\bigoplus_{a}E_a$ où $E_a=\ker(u^2-aId)$ . La restriction de u à chaque $E_a$ est diagonalisable donc on peut prendre une base $B_a$ de chaque $E_a$ dans laquelle la matrice de $u_{|E_a}$ est diagonale. En posant $B=\bigcup_aB_a$ , on a une base $B$ de E dans laquelle la matrice de u est diagonale.