Nouveau Test

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Posted by: Will=?

EXERCICE 1:


Soient a et b deux réels tels que a-b=1

Montrez que : a^3-b^3plus grand ou égale 1/4

EXERCICE 2


Déterminez toutes les fonctions f définies sur \mathbb{R}-{0,1} et vérifiant la relation :


f(x)+f(1/1+x)=x


EXERCICE 3:

Soient h (de a) ,h (de b), h (de c) les hauteurs d'un triangle et r le rayon de son cercle inscrit.
Déterminer la nature de ce trianle sachant que :

h (de a) +h (de b)+ h (de c)=9r


EXERCICE 4:

Les points S,T et U appartiennent respactivement aux cotés [AB], [BC] et [CA] d'un triangle ABC et vérifient les relations :

AS/SB=1/2 ; BT/TC=2/3 ; CU/UA=3/1

Montrer comment peut on construire le triangle ABC connaissant les points S,T et U .

Priere de me répondre surtt pour exo 4


Posted by: Ben314

Salut,
Pour l'exo. 1, y'a pas grand chose à faire :
a^3-b^3=(a-b)(a²+ab+b²)=a²+a(a-1)+(a-1)² [vu que a+b=1]
=3a²-3a+1=3(a-1/2)²+1/4

Pour l'exo 2, j'ai deux soucis :
- C'est R privé de 0 et -1 ou privé de 0 et 1 ?
- La formule c'est f(x)+f(1/(1+x))=x ou bien, comme tu l'écrit, c'est f(x)+f(1+x)=x ?


Posted by: Doraki

Pour le 1, j'ai a^3-b^3 = (a-b)((a-b)²/4 + 3(a+b)²/4) >= 1/4 quand on remplace (a-b) par 1.

Pour le 2, l'énoncé est douteux.

Pour le 4, on peut tout écrire en terme de vecteurs, et manipuler tout ça pour obtenir A,B,C comme barycentres de S,T,U

Je trouve
A = bar(U,16)(T,-10)(S,-9)
B = bar(U,-8)(T,5)(S,18)
C = bar(U,4)(T,10)(S,9)


Posted by: Ben314

Pour l'exo 3,
En coupant le triangle (de cotés a,b,c) en trois sous triangles de sommet commun le centre du cercle inscrit (de rayon r) , on voit que la surface S du triangle est : 3$S=\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}
d'où 3$r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{a}{a+b+c}h_A=\frac{b}{a +b+c}h_B=\frac{c}{a+b+c}h_C
puis 3$h_A=\frac{a+b+c}{a}r , 3$h_B=\frac{a+b+c}{b}r et 3$h_C=\frac{a+b+c}{c}r
donc la relation 3$h_A+h_B+h_C=9r équivaut à 3$\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}= 9
soit encore à 3$\frac{1}{x}+\frac{1}{xy}+x+\frac{1}{y}+xy+y=6\ (#) en posant 3$x=\frac{a}{b} et 3$y=\frac{b}{c}.
Or, pour tout réel 3$t>0, 3$t+\frac{1}{t}-2=\frac{t^2+1-2t}{t}=\frac{(t-1)^2}{t}\geq 0 avec égalité ssi 3$t=1 donc,
3$x+\frac{1}{x}\geq2 avec égalité ssi 3$x=1
3$y+\frac{1}{y}\geq2 avec égalité ssi 3$y=1
3$xy+\frac{1}{xy}\geq2 avec égalité ssi 3$xy=1
Ce qui montre que la relation 3$(#) n'est réalisable que lorsque 3$x=y=1, c'est à dire 3$a=b=c

Par contre, l'exo 2 est totalement incohérent : on peut prendre n'importe quoi comme fonction sur [0,1[ puis compléter pour avoir f(x)+f(1+x)=1


Posted by: Ben314

Pour l'exo 4, si la "construction" demandée est analytique, on peut procéder comme le dit Doraki.
Si la construction demandée est géométrique, on peut procéder comme suit :
On note hS, hT, hU les homothéties de centre respectifs S,T,U et de rapport respectifs -2, -3/2 et -1/3.
Par hypothèse, on a donc hS(A)=B, hT(B)=C et hU(C)=A ce qui signifie que A est un point fixe de f = hU o hT o hS.
Or f est la composée de 3 homothéties donc est une homothétie de rapport -2.-3/2.-1/3=-1, c'est à dire une symétrie centrale.
Conclusion, pour construire A, on part d'un point quelconque M (par exemple S ou T ou U) puis on construit M' = hU o hT o hS (M) et le point A est évidement le milieu de [MM']
On construit ensuite B=hS(A) puis C=hT(B).


Posted by: Olympus

Je viens tout juste de sortir des olympiades et j'ai pas mal géré ( 3 exercices sur 4 ) ^^

Exercice 1 : très easy, ils abusent quand même ...

L'exercice 2 est faux, c'est 1-x à la place de 1+x . Avec trois changement de variables on y arrive aisément ( poser a=1/(1-x) , b=1/(1-a) et c=1/(1-b)=x , avec a;b;c dans R-{0;1} ) .

L'exercice 3 marche en remarquant que ce qui est demandé est équivalent à (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c)=9 et en déduire que a=b=c . On peut dire "c'est le cas d'égalité de C.S", ou alors si on veut rien risquer, on développe tout, puis on aura \HUGE \left( \sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{b}{a}} \right)^2 + \left( \sqrt{\frac{b}{c}} - \sqrt{\frac{c}{b}} \right)^2 + \left( \sqrt{\frac{c}{a}} - \sqrt{\frac{a}{c}} \right)^2 = 0 .
Ce qui est équivalent à :

\HUGE \sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{b}{a}} = 0 ET \HUGE \sqrt{\frac{b}{c}} - \sqrt{\frac{c}{b}} = 0 ET \HUGE \sqrt{\frac{c}{a}} - \sqrt{\frac{a}{c}} = 0 .

Et on conclut .

L'exo 4 j'avais pensé à Ceva comme les céviennes se coupent, mais pas d'idées ensuite donc j'ai laissé tombé .


Posted by: Olympus

La solution complète que j'ai donné à l'exo 3 ( un peu le même principe que celui de BenPi, à savoir étudier le cas d'égalité d'une inégalité ) :

On note \HUGE S la surface de notre triangle, et \HUGE a;b;c les longueurs de ses côtés .

\HUGE 2S=h_a a = h_b b = h_c c
\HUGE 2S \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = h_a a \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)
\HUGE 2S \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = h_a + h_b + h_c
\HUGE r\left( a+b+c \right) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = h_a + h_b + h_c = 9r
\HUGE \left( a+b+c \right) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = 9 .

Là, soit C.S est admis et on s'arrête là en disant que c'est le cas d'égalité de \HUGE \left( a+b+c \right) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq 9 atteint pour \HUGE a=b=c .

Soit on veut rien risquer et on continue en développant tout et en réécrivant sous forme de somme de carrés :

\HUGE \left( \sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{b}{a}} \right)^2 + \left( \sqrt{\frac{b}{c}} - \sqrt{\frac{c}{b}} \right)^2 + \left( \sqrt{\frac{c}{a}} - \sqrt{\frac{a}{c}} \right)^2 = 0

Et on conclut comme dit dans mon message précédent .


Posted by: Will=?

Moi aussi
J'ai fait les 3 premierss
pour exo 2 oui c'est 1-x

Pour le quatrieme je n'ai pas réussiii à le faireee (ceva,,, mais rien,)
Sinn Comments les eleves de votre lycee ont passé ce test??


Posted by: Olympus

Citation:
Posté par Will=?
Sinn Comments les eleves de votre lycee ont passé ce test??


Trop mal apparemment, je vais majorer je pense

Pour l'exo 2, on trouve : \HUGE f\left(x\right) = \frac{1}{2} \left( x-\frac{1}{x} - \frac{x}{1-x} \right) .


Posted by: Will=?

Citation:
Posté par Olympus
Trop mal apparemment, je vais majorer je pense

Pour l'exo 2, on trouve : \HUGE f\left(x\right) = \frac{1}{2} \left( x-\frac{1}{x} - \frac{x}{1-x} \right) .


Je crois que Tu as oublié +1


Posted by: Olympus

Citation:
Posté par Will=?
Je crois que Tu as oublié +1


Je ne pense pas, j'ai vérifié et c'est correct . D'ailleurs, d'après l'énoncé, il ne peut pas y avoir de constante ;-)


Posted by: Will=?

J'ai voulu dire f(x)=1/2(x+1-1/x+1/(x-1))
(Tu as oublié un +1)

PS: j'ai fait la meme methode que toi (pour l'exercice 2 et 3)^^


Posted by: Olympus

C'est ce que j'ai dit, impossible qu'il y ait une constante ^^ ( 1/2 dans ton cas )

C'est bien \HUGE f\left(x\right) = \frac{1}{2} \left( x-\frac{1}{x} - \frac{x}{1-x} \right) .

Si on veut vérifier :

\HUGE f\left(x\right) = \frac{1}{2} \left( x-\frac{1}{x} - \frac{x}{1-x} \right)

et

\HUGE f\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1-x} - 1 + x - \frac{\frac{1}{1-x}}{\frac{-x}{1-x}} \right) = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{1-x} - 1 + x + \frac{1}{x}\right)

En sommant, on obtient bel et bien \HUGE f\left(x\right) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = x .

Mais si on met ton +1, on aura x+1 au final et pas x .


Posted by: Will=?

[QUOTE=Olympus]C'est ce que j'ai dit, impossible qu'il y ait une constante ^^ ( 1/2 dans ton cas )

C'est bien \HUGE f\left(x\right) = \frac{1}{2} \left( x-\frac{1}{x} - \frac{x}{1-x} \right) .


Bonjour
On a les meme réponse lol (je n'ai pas fait attetion) parce que \frac{1}{2}(x+1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1})=\frac{1}{2}(x- \frac{1}{x}-\frac{x}{x-1})
Vue que[tex]-\frac{x}{1-x}=1+\frac{1}{x-1}

@+


Posted by: Olympus

@Will=? : En effet, c'est la même fonction, pas vu aussi ^^

Dommage que quasi personne a réussi l'exercice de géo ( en tout cas, personne de notre lycée ) ...

Faut que je bosse la géo cet été si je veux espérer participer aux OIM l'année prochaine, mais j'arrive toujours pas à avoir l'intuition, je suis un vrai cas quoi

Par contre je suis un petit peu intéressé par l'approche analytique ( barycentres/vecteurs/produit scalaire ) comme celle qu'a utilisé Doraki, quelqu'un n'aurait pas de documents traitant de ces approches dans les exercices de géométrie d'olympiades ?

Merci !


Posted by: Will=?

:)
Moi aussi la geometrie me pose un grand probleme (C'est normal parce que je ne l'ai jamais travaillé ))
J'espere Etre qualifiéééé
PS:je veux bien savoir s'il y a quelqu'un qui a réussi à faire 7 ou 6 exercices dans les deux test :)


Posted by: Olympus

6/8 dans les deux tests pour ma part, et toi ?


Posted by: Will=?

Bonjour
Moi 5/8
(Bonne chance ),Et pour les autres (vos camarades,,)?


Posted by: Doraki

Ben, si je reprends AS/SB=1/2 ; BT/TC=2/3 ; CU/UA=3/1,
d'abord on enlève les divisions parceque les divisions c'est le mal,

on a en vecteurs 2AS = SB ; 3BT = 2TC ; CU = 3UA,
soit 2SA+SB = 3TB+2TC = UC+3UA = 0 : on a S,T, et U en fonction de A,B,C (comme barycentres).
Le calcul consiste à inverser ça pour avoir A,B,C en fonction de S,T,U.
Et on fait ça exactement comme on résout un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues.

Soit M un point du plan absolument quelconque.
Je note a = MA, b = MB, c = MC, s = MS, t = MT, u = MU (toujours des vecteurs).
Les relations données s'écrivent simplement :
3s = 2a+b
5t = 3b+2c
4u = 3a+c

Y'a plus qu'à retourner le système pour avoir a,b,c en fonction de s,t,u.

Note que la somme des coeffs de chaque coté des égalités est la même,
c'est parceque tout ça est indépendant du choix de M.
Si à un moment dans tes calculs t'as pas les coefficients qui se compensent,
c'est que tu t'es gourré quelquepart.


Posted by: Olympus

Citation:
Posté par Doraki
Ben, si je reprends AS/SB=1/2 ; BT/TC=2/3 ; CU/UA=3/1,
d'abord on enlève les divisions parceque les divisions c'est le mal,

on a en vecteurs 2AS = SB ; 3BT = 2TC ; CU = 3UA,
soit 2SA+SB = 3TB+2TC = UC+3UA = 0 : on a S,T, et U en fonction de A,B,C (comme barycentres).
Le calcul consiste à inverser ça pour avoir A,B,C en fonction de S,T,U.
Et on fait ça exactement comme on résout un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues.

Soit M un point du plan absolument quelconque.
Je note a = MA, b = MB, c = MC, s = MS, t = MT, u = MU (toujours des vecteurs).
Les relations données s'écrivent simplement :
3s = 2a+b
5t = 3b+2c
4u = 3a+c

Y'a plus qu'à retourner le système pour avoir a,b,c en fonction de s,t,u.

Note que la somme des coeffs de chaque coté des égalités est la même,
c'est parceque tout ça est indépendant du choix de M.
Si à un moment dans tes calculs t'as pas les coefficients qui se compensent,
c'est que tu t'es gourré quelquepart.


Joli en effet, je comprends mieux comment t'avais fait pour tes coordonnées barycentriques










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