Mathématiques - notion d'ensembles

notion d'ensembles
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Posted by: Non inscrit

bonjour , j'aimerais un peu d'aide de votre part pour cette démontrer ceci :

f étant une application de E dans F et A et B deux éléments de P(E)
f est injective équivaut a quelquesoit (A,B)€P(E)² , f(AinterB)=F(A)interF(B)

Merci pour vos futures indications

Posted by: Tomy

Bonsoir,

Supposons d'abord f injective,
Soient $A,B \in P(E)$ . Montrons que $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ par double inclusion.
_ Soit $y \in f(A \cap B)$ , soit $x \in A \cap B / y=f(x)$
$x \in A \cap B$ donc $x \in A \Longrightarrow y=f(x) \in f(A)$
De même $x \in A \cap B$ donc $x \in B \Longrightarrow y=f(x) \in f(B)$
et donc $y \subset f(A) \cap f(B) \Longrightarrow f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$

_ Soit $y \in f(A) \cap f(B)$ . Comme $y \in f(A)$ , on écrit $x \in A / y=f(x)$ .
De même, on écrit $x' \in B /y=f(x')$
Comme f est injective et que f(x) = f(x'), $x=x' \in A \cap B$
Donc $y=f(x) \in f(A \cap B) \Longrightarrow f(A) \cap f(B) \subset f(A \cap B)$ .

Donc: si f est injective, alors $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ .

Montrons l'autre sens maintenant :p
Supposons que $\forall A,B \in P(E), f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$
Soient $x,y \in E / f(x) = f(y)$
On a f({x}) = f({y}) = {f(x)}
Donc f({x}) $\cap$ f({y}) = {f(x)} = f({x} $\cap$ {y})
Donc f({x} $\cap$ {y}) $\neq$ 0 et donc {x} $\cap$ {y} $\neq \empty$ et x = y

Conclusion: f est injective $\Longleftrightarrow \forall A,B \in P(E), f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ .

Voila j'espère que ça sera assez clair. :)