normes

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Posted by: MacManus

Bonsoir,

Il s'agit d'un exercice concernant la " non-continuité " d'une application,
seulement je me pose plusieurs questions...

Soit a,b \in [1,+\infty] avec a < b.
notations : C_c(R,K) l'espace des fonctions continues de R dans K à support compact.

Montrer que l'identité de (C_c(R,K),||.||_a) dans (C_c(R,K),||.||_b) n'est pas continue.


1. L'identité est en fait l'application identité Id : qui est est linéaire et continue ssi ||.||_a et ||.||_b sont équivalentes ?
Donc si je veux montrer que l'identité n'est pas continue, je dois finalement montrer que ces 2 normes ne sont pas équivalentes c'est bien ça ??

2. Sinon est-ce que je peux choisir une fonction f de (C_c(R,K),||.||_a) qui ne vérifie pas : \exists k \in R_{+*}, \forall f \in (C_c(R,K),||.||_a), ||Id(f)||_b\le k||f||_a ?

Voilà je ne sais pas si ce que j'avance est correct ou non.
Je ne sais pas bien par quoi commencer...
Quelqu'un peut-il m'aider svp?
Merci beaucoup!


Posted by: jeje56

La deuxième idée est bonne. Trouve une suite de fonctions dont la norme b tend vers l'infini et la norme a reste constante, ainsi tu contredis la propriété de la continuité. Les normes sont précisées ?


Posted by: MacManus

Salut Jeje56 merci ;)

Oui je suis du même avis que toi : opter pour introduire une suite de fonctions. (je peux d'ailleurs la choisir affine par morceaux ?)
les normes a et b sont définies de la même façon que la norme p (pour p différent de l'infini) je pense.


Posted by: jeje56

Après réflexion, je penche plutôt pour la première idée...

En effet, trouver une suite de fonctions vérifiant les conditions nécessaires me semble difficile si les normes a et b ne sont pas plus "explicites"...

Par contre on sait que toutes les normes sont équivalentes sur un espace vectoriel de dimension finie... L'ensemble des applications continues de R dans K est de dimension finie ?...

Amicalement ;-)


Posted by: quinto

Bonjour,
bien sur que l'espace vectoriel n'est PAS de dimension finie et que les normes sont explicites...

Ici il suffit de trouver une suite de fonctions qui converge pour une norme et pas pour l'autre.

Tu peux te ramener à a=1 et b=2 sans trop de problème si tu veux.
Le cas b=infini est presque trivial.


Posted by: jeje56

Citation:
Posté par quinto
Bonjour,
bien sur que l'espace vectoriel n'est PAS de dimension finie et que les normes sont explicites...


Autant pour moi ^^


Posted by: quinto

Si tu ne le vois pas tu n'as qu'à te dire que les fonctions polynômiales sont incluses dans ton espace.

Tu as la liberté de la famille
{1,x,x^2,...}


Posted by: jeje56

Oui c'est vrai... merci pour ton indication :-)


Posted by: MacManus

Hmmm.....Je ne vois pas pourquoi les fonctions polynômiales feraient parties de l'espace des applications linéaires continues à support compact.
Pouvez-vous m'expliquer dans ce cas. Merci à vous pour votre aide.


Posted by: quinto

C'est quoi une application linéaire continue à support compact ?

Effectivement ici les applications doivent être à support compact.

Peu importe, on en prend une et on multiplie par les polynômes que je donne.


Posted by: MacManus

Citation:
Posté par MacManus
Soit a,b \in [1,+\infty] avec a < b.
notations : C_c(R,K) l'espace des fonctions continues de R dans K à support compact.

Montrer que l'identité de (C_c(R,K),||.||_a) dans (C_c(R,K),||.||_b) n'est pas continue.


Je ne parviens pas à trouver une suite de fonctions à support compact, qui convergerait pour une norme et pas pour l'autre. Les normes a et b sont définies dans le sens où mes fonctions sont Lebesgue-intégrables ?

Quelqu'un peut-il m'aider ?

merci beaucoup


Posted by: jeje56

Je ne vois pas non plus d'exemple d'une telle suite de fonctions...

Quelqu'un a-t-il une idée ?

Merci bcp ;-)










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