Mathématiques - Normes et continuité

Normes et continuité
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Posted by: pouik

Bonjour,
Pourriez vous m'aider sur cet exercice. Je n'y arrive basolument pas....

Merci d'avance pour votre aide.

L'espace vectoriel $E=R[X]$ des polynômes à coefficients réel est muni de la norme $||.||$ définie par $||P||=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k X^k$ (les $a_k$ sont nuls à partir d'un certain rang). Des quatres formes linéaires $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ sur $E$ définie ci-dessous, lesquelles sont continues ?
$\alpha : P \rightarrow P'(1) ; \beta : P \rightarrow P(\frac{1}{2}) ; \gamma : P \rightarrow P(2) ; \delta : P \rightarrow \int_{0}^{1} P(t) dt$

Posted by: klevia

Salut,
j'ai un petit soucis avec ta norme ... ne manquerait-il pas un sup ?

Posted by: pouik

oui désolé,
$||P||=max_{k \in N} |a_k|$ si $P = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k X^k$

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par pouik

oui désolé,
$||P||=max_{k \in N} |a_k|$ si $P = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k X^k$

donc pour $\alpha$ , il me semble qu'elle n'est pas continue, on prend $(X^n)_n$ (qui est de norme 1) et qui a pour dérivée n, donc non bornée sur la boule unité, non?

[edit] il me semble qu'on peut utiliser le même argument pour dire que $\gamma$ n'est pas continue.

Posted by: pouik

Citation:

Posté par legeniedesalpages

comment savez vous que la norme vaut 1 ?

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par pouik

comment savez vous que la norme vaut 1 ?

Sur wiki : http://fr.wikipedia.org/wiki/Contin..._m.C3.A9triques , il disent qu'une application linéaire est continue si et seulement si elle est bornée sur la boule unité.

Vu la définition de ta norme, on a pour tout $n$ , $||X^n|| = |a_n| = 1$ ,

par contre $\alpha(X^n)= n$ , donc $\alpha$ n'est pas bornée sur la boule unité.

Posted by: klevia

Pour a, je te le fait avec la définiton
a non continue en 0 s'écrit ainsi:
$\exist\eps>0 \forall\alpha>0 \exist Q\in\mathbb{R}[X] ||Q||<\alpha et |Q'(1)|>\eps$
en fait ca ne marche pas avec tous les epsilon que tu veux:
Soit $\eps>0$ et soit $\alpha>0$ Soit N appartenant à IN tel que $\alpha N>\eps$ i.e. $N>\frac{\eps}{\alpha}$

je pose $Q(x)=\alpha x^N$ alors $Q'(1)=\alpha N$
ainsi ||Q||< $\alpha$ et |Q'(1)|> $\eps$

d'ou a n'est pas continue en 0

Posted by: klevia

Resalut, je te fait $\beta$ maintenant.
remarque préliminaire
$\forall\ n >0 \ \ \frac{n+1}{2^n}\le1$

montrons que $\beta$ est continue en 0.

soit $P(X) = \sum_{k=0}^{n} a_nX^n$
alors $|P(0.5)|< \sum |a_n| (0.5)^n<(n+1)||P||(0.5)^n<||P||$

d'où
$\forall\eps>0\ \exist\alpha=\eps \ tq \ ||P||<\alpha => |P(0.5)|<\eps$

d'ou $\beta$ est contiue en 0, d'ou $\beta$ est continue

Posted by: klevia

Pour la 3ème , un argument similaire à la première montre que ce n'est pas continue ( si tu veux je détaille ...)

Posted by: klevia

Je te laisse faire la 4ème, j'ai trouvé qu'elle n'était pas continue non plus ... si tu as besoin d'aide ...

Posted by: pouik

Merci,
mais je n'ai pas vraiment d'ideés pour la dernière....

Posted by: klevia

soit $\eps=1$ ( pourquoi pas)
soit $\alpha>0$
et soit N appartenant à IN tel que $\alpha . \sum_{k=0}^{N}\ \frac{1}{k+1}>\eps$ ( N existe car $\sum_{k=0}^{N}\ \frac{1}{k+1}$ tend vers l'infini)

je pose P(X)= $\sum_{k=0}^{N}\ \alpha X^N$

quel est ||P|| ?
combien vaut $\delta(P) ?$

Posted by: SimonB

Citation:

Posté par legeniedesalpages

Sur wiki : http://fr.wikipedia.org/wiki/Contin..._m.C3.A9triques , il disent qu'une application linéaire est continue si et seulement si elle est bornée sur la boule unité.

une application linéaire est continue en général si elle transforme tout borné du départ en un borné de l'arrivée

un complément intéressant (que j'ai eu récemment en colle) : faire le lien pour une application f d'un evn dans un autre evn (non nécessairement linéaire) entre les assertions :
(i)f est continue
(ii)f est unift continue
(iii)f est bornée sur les boules

Posted by: ThSQ

Je pense que les seules implications vraies sont :

ii => i (

trophor)
i => iii
ii => iii

Posted by: SimonB

Citation:

Posté par ThSQ

i => iii

Et non, celle-ci est fausse !

Même si je n'arrive pas à me rappeler du contre-exemple qu'on m'avait donné à étudier (il s'agissait sûrement d'une série...). Enfin, je le retrouverai quand j'aurai reçu le livre que j'ai commandé ("Counterexamples in analysis" ;) )...

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par SimonB

Et non, celle-ci est fausse !

C'était trop beau. J'avais cherché un contrex sans en trouver (faut travailler en dim infinie oeuf corse)