Mathématiques - Norme d'une application lineaire.

Norme d'une application lineaire.
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Posted by: Patrick.p

Bonjour je dois montrer la continuité d'une application lineaire définie par :
u: AxB -> H
(x,y) -> x+y

H (Hilbert)
(A et B deux sous espace vectoriel de H tel que A inter B est réduit a 0)

J'ai une idée de comment faire en ayant la norme de u,
||u|| mais je n'ai aucun souvenir de comment on définie la norme d'une application lineaire (niveau L2 ou L3 pourtant) si quelqu'un pouvait me rafraichir la mémoire?

Merci d'avance!

Posted by: tize

On peut définir la norme d'une application linéaire de plusieurs manière, l'une d'entre elles est :
$||u|| = \sup\limits_{(x,y)\in A\times B,(x,y)\neq 0}\frac{|u(x,y)|}{|(x,y)|}$
Si tu montres que le sup existe et est finie alors tu montres du même coup que u est continue car alors on a pour tout (x,y) :
$|u(x,y)|\leq ||u||\cdot|(x,y)|$

[edit]
J'ajouterai qu'ici ça n'est pas vraiment nécessaire, si on prend comme norme sur l'espace produit $A\times B\; :\; |(x,y)|=|x|+|y|$ alors la continuité de u est immédiate...

Posted by: yos

Peut-on prendre n'importe quelle norme? Car Hilbert sous-entend souvent dinmension infinie (sinon on dit plutôt euclidien ou hermitien).

Posted by: Patrick.p

La norme pour AxB est ici : |(x,y)| = racine de ( |x|² + |y|²).

Je vais essayé de comprendre pourquoi la continué est immediate avec la norme que tu as cité, et en faissant plus ou moins l'analogie avec celle ci-dessus je devrais y arrivé.
Mon probléme est plus maintenant de montré que ce sup existe et est fini, mais je devrais y arrivé.

Merci beaucoup

Posted by: tize

$0\leq (|x|-|y|)^2 =|x|^2 + |y|^2 -2|x|\cdot |y|$ donc
$2|x|\cdot |y|\leq |x|^2+|y|^2$ et avec Cauchy-Scwartz:
$2<x,y> \leq 2|x|\cdot |y|\leq |x|^2+|y|^2$ en ajoutant $|x|^2+|y|^2$ , on a :
$|x|^2+|y|^2+2<x,y> \leq 2(|x|^2+|y|^2)$ , le membre de gauche vaut $|x+y|^2$ donc :
$|x+y|^2 \leq 2(|x|^2+|y|^2)$ d'ou :
$\frac{|x+y|^2}{|x|^2+|y|^2}\leq 2$ ou encore : $\frac{|x+y|}{\sqrt{|x|^2+|y|^2}}=\frac{|u(x,y)|}{| (x,y)|}\leq \sqrt{2}$
ce qui prouve que u est continue et $||u||\leq \sqrt{2}$

Posted by: Patrick.p

Ben merci beaucoup, j'dois avoué que j'aurais surement pas pensé a tous ca pour cette majoration, j'avais des trucs approchant mais c'était loin d'être ca.

Merci

Posted by: tize

De rien, je ne suis pas sûr que ce soit la methode la plus élégante...