Mathématiques - norme sur Rn

norme sur Rn
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Posted by: denver

Bonjour à tous,

C'est bientot les vacances malheureusement il me reste encore un petit examen et je n'arrive pas à démontrer un théorème alors si qqn saurait m'aider se serait super.

Je dois démontrer que toutes les normes sur Rn sont équivalentes entre elles...

Merci déjà pour vos futures réponses.

Posted by: sarmate

Bonjour.

Notons (e1,...,en) une base, et pour tout $\displaystyle{x=\sum_{i=1}^n x_ie_i}$ notons $N_0(x)=sup |x_i|$ qui définit bien une norme sur $\mathbb{R}^n$ .

On montre que toutes les normes sur $\mathbb{R}^n$ sont équivalentes à N0.

On considère donc une autre norme N, et si on note a le réel $\sum N(e_i)$ on a pour tout $x=\sum x_i e_i$

$N(x)\leq \sum N(x_i e_i)=\sum |x_i| N(e_i)\leq aN_0(x)$

Munissons $\mathbb{R}^n$ de la norme ||(x1,..,xn)||=sup |xi|.
L'application f:( $\mathbb{R}^n$ ,||.||)->( $\mathbb{R}^n$ ,N0) (x1,..,xn)-> $\sum x_i e_i$ est une isométrie donc la sphère unite S de $\mathbb{R}^n$ pour N0 est un compact de $\mathbb{R}^n$ , en tant qu'image de la sphère unité pour ||.|| par f.

D'après l'inégalité précédente, on a :

|N(x)-N(y)|=<N(x-y)=<aN0(x-y), donc N :(E,N0)-> $\mathbb{R}$ est continue. Comme S est compact (pour N0) on en débuit que b=inf{N(x), pour N0(x)=1} est non nul. (un compact dans R est un intervalle fermé borné, et ici ce compact de R ne contient pas 0).

Ainsi, pour tout x non nul de $\mathbb{R}^n$ on a :

$N(x)=N_0(x).N(\frac{x}{N_0(x)})\geq bN_0(x))$