norme de "Q" et "R".

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Posted by: stratius

bonjour, apres avoir suivi une année de fac de math-info, il me reste une question concernant les nombres rationels et irrationnels.

je suis convaicu qu'il existe autant de "Q" que de "R", c est a dire qu'il ont meme cardinal.

mon raisonnement est simple:

si je peut ecrire 1414/10^3 est environ egale a racine de 2.
et si en continuant comme cela: 14147/10^4 se rapproche encore de "racine de 2" un peu plus.
pourquoi ne pas approcher constament "racine de 2" à l'infini?
(14147...."infiniment")/(10^"infiniment") égale à "approche constante de racine de 2"

suis je fou?

ps: avec ce raisonnement, dans un graphique (X,Y), lorsque je plonge dans l'infiniment petit, j'obtiens une alternance de "Q" et "R".
QRQRQRQRQRQRQR .......pour un Y donné.


Posted by: Joker62

Q est dense dans R

Pour tout a,b € R tel que a<b
Il existe un r = p/q € Q tel que a < r < b

Donc bon...

Ensuite parler du cardinal de R, c'est un peu brutal no ?


Posted by: fahr451

bonjour

tu confonds deux notions distinctes


1 "cardinal" ordinal serait préférable puisque les ensembles sont infinis

on peut compter les rationnels et pas les irrationnels

de façon précise Q est en bijection avec N mais pas R\Q

2 le fait de pouvoir approcher tout nombre (ici racine(2) ) par des rationnels

cette propriété est vraie
on dit que Q est dense dans R

aurais je trainé pour répondre?


Posted by: Joker62

J'en ai bien l'impression :)
Tu radottes mes propos ! :p

C'est pas plus mal, ça fait que confirmer ce que je dis :)


Posted by: emdro

Citation:
Posté par stratius
ps: avec ce raisonnement, dans un graphique (X,Y), lorsque je plonge dans l'infiniment petit, j'obtiens une alternance de "Q" et "R".
QRQRQRQRQRQRQR .......pour un Y donné.


Le problème avec cette idée QRQRQRQ..., c'est que la structure de IR est beaucoup plus compliquée que cela: si tu prends un réel x, il n'existe pas de successeur immédiat à x. Donc tu ne peux pas dire si le suivant est Q ou R\Q: il n'y a pas de suivant!

Pour prouver que R\Q est beaucoup plus gros que Q (qui a le même nombre d'éléments que IN), il y a une méthode très simple (je l'explique parfois à des élèves de seconde qui me posent la question) qui est basée sur le procédé diagonale de Cantor.

Le cardinal de IN, de Z de D de Q et même celui des nombres algébriques est appelé Aleph0
Le cardinal de IR est appelé Aleph1


Citation:
Posté par stratius
suis je fou?


Ca, c'est une autre question à laquelle il ne nous appartient pas de répondre!


Posted by: abcd22

Citation:
Posté par fahr451
1 "cardinal" ordinal serait préférable puisque les ensembles sont infinis

Non c'est bien cardinal pour les ensembles infinis, un cardinal est un ordinal qui n'est en bijection avec aucun ordinal strictement plus petit que lui. Avec l'axiome du choix on peut montrer que tout ensemble est en bijection avec un unique cardinal mais pas avec un unique ordinal (sauf justement pour les ensembles finis puisque tous les ordinaux finis sont des cardinaux). Bon ça m'étonnerait qu'on définisse ce qu'est le cardinal d'un ensemble de façon vraiment précise en première année de fac de maths-info.


Posted by: fahr451

mea culpa mea maxima culpa


Posted by: Joker62

Tu t'en veux ??? ça veut dire ça ???
D'ailleurs mon prof de topo est à fond dans le latin aussi !

Fahr tu serais barbu, grecque et bizarre par hasard ?


Posted by: stratius

je m'incline










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