Soit u de E dans R une forme lineaire continue (E evn). Soit a dans E / u(a)=1.
N=Ker(u). On demande de calculer IIIuIII en fonction de d(a,N).
je me demande si ce n'est pas 1/d(a,N) car en prenant x=a-y avec y dans N on a
bien Sup(IIu(x)II/IIxII,x<>0)=1/d(a,N). (c vrai j'ai raisonné à l'envers)
Mais comment montrer que qqsoit x non nul de E, IIu(x)II/IIxII <= 1/d(a,N) ?
merci
Posted by: masterbech
"Wenceslas" <navilys2001@aol.com> a écrit dans le message de news: 20041008160623.08597.00000099@mb-m22.aol.com...
> bonjour,
>
> Soit u de E dans R une forme lineaire continue (E evn). Soit a dans E /
u(a)=1.
> N=Ker(u). On demande de calculer IIIuIII en fonction de d(a,N).
>
> je me demande si ce n'est pas 1/d(a,N) car en prenant x=a-y avec y dans N
on a
> bien Sup(IIu(x)II/IIxII,x<>0)=1/d(a,N). (c vrai j'ai raisonné à l'envers)
>
> Mais comment montrer que qqsoit x non nul de E, IIu(x)II/IIxII <= 1/d(a,N)
?
N est un hyperplan de E
Soit x dans E, il existe t(x) dans R et n dans N tel que x=t(x)a+n donc
u(x)=t(x)u(a)=t(x)
Autrement dit, x=u(x)a+n
Si u(x)<>0 alors d(x,N)=d(u(x)a+n,N)=d(u(x)a,N)=abs(u(x))d(a,N)
norme(t*a+n)=abs(t)norme(a+n/t) et n/t décrit N si n décrit N
si u(x)=0 alors x est dans N et d(x,N)=0=abs(u(x))d(a,N)
donc pour tout x dans E, abs(u(x))=d(x,N)/d(a,N)
Puisque d(x,N)<=norme(x+0)=norme(x), on en déduit que
pour tout x dans E,
abs(u(x))<=norme(x)/d(a,N) donc IIIuIII <=1/d(a,N)
Réciproquement, pour x=a+n alors
IIIuIII *norme(a+n) >=abs(u(a+n))=abs(u(a))=1 donc
norme(a+n) >=1/IIIuIII pour tout n dans N
En passant au inf
d(a,N)>=1/IIIuIII
donc IIIuIII >=1/d(a,N)
cqfd