Mathématiques - Norme d'application linéaire

Norme d'application linéaire
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Posted by: Ptah Sokar

Bonjour à tous !

J'ai quelques soucis sur l'interprétation a donner à la norme d'une application linéaire.
J'ai, tout d'abord, définit la norme d'une application linéaire u : (R $^n$ , $||.||_p$ ) --> (R $^n$ , $||.||_q$ ) comme ceci : $||u||_{p,q}$ = $sup_{||x||_p = 1} ||u(x)||_q$ pour x $\in R^n$ et p,q $\in$ {1,2, $\infty$ }

Je vais prendre un exemple pour illustrer ce que je ne saisis pas :
On se place dans le cas où n=2 et A= $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ la matrice de l'application u.
On a ainsi u : (R² , $||.||_p$ ) --> (R² , $||.||_q$ ) telle que u(x) = ( $x_1$ + 3 $x_2$ , 2 $x_1$ - 2 $x_2$ ) pour x=( $x_1$ , $x_2$ ) $\in$ R²

Pour commencer, j'ai dessiné dans un repère orthonormé les " sphères unités " des normes 1, 2 et $\infty$ qui se traduit très grossièrement par un losange centré en 0 pour la norme 1, un cercle de centre O et de rayon 1 pour la norme 2 et un carré de côté 1 centré en 0 pour la norme $\infty$ .
J'ai ensuite cherché à trouver l'image de ces " sphères unités " par l'application u. Ce que j'ai réussi à faire, par exemple, pour la norme $\infty$ en calculant juste u((1,1)) et u((-1,1)), car comme u est linéaire on a u((-1,-1)) = -u((1,1)) et u((1,-1)) = -u((-1,1)).

En revanche ce que je n'arrive pas à saisir, c'est l'interprétation graphique que je peux donner aux valeurs $||u||_{1,1}$ , $||u||_{1,2}$ , $||u||_{\infty,1}$ , $||u||_{\infty,2}$ , $||u||_{\infty,\infty}$ ou encore $||u||_{1,\infty}$ .
Par le calcul j'ai réussi à trouver ce que vaut ces normes(sauf pour $||u||_{\infty,\infty}$ et $||u||_{1,\infty}$ ) mais graphiquement je n'arrive pas à voir ce que c'est, si quelqu'un pouvait m'expliquer

Je vous mets tout de même ma démarche pour le calcul de l'une de ces normes, celle-ci étant la même à chaque fois :

Prenons donc $||u||_{1,1}$
$||u||_{1,1}$ = $sup_{||x||_1=1} ||u(x)||_1$
= $sup_{||x||_1=1}$ | $x_1$ + 3 $x_2$ | + |2 $x_1$ - 2 $x_2$ |
= $sup_{||x|_1=1}$ Y avec Y = | $x_1$ + 3 $x_2$ | + |2 $x_1$ - 2 $x_2$ |
Je pose ensuite x=( $x_1$ , $x_2$ ) $\in$ R² tel que $||x||_1$ =1 i.e | $x_1$ | + | $x_2$ | = 1

Or Y $\le$ | $x_1$ |+3| $x_2$ |+2| $x_1$ |-2| $x_2$ |= 3| $x_1$ |+| $x_2$ | $\le$ 3(| $x_1$ |+| $x_2$ |) = 3
D'ou $||u||_{1,1}$ $\le$ 3

Cherchons maintenant un x' $\in$ R² tel que $||x'||_1$ = 1 et $||u(x')||_1$ = 3. ON voit tout de suite que pour x'=(1,0) cela fonctionne.
Et donc que $||u||_{1,1}$ = 3

Voila, mais graphiquement je ne vois pas a quoi cela correspond, je sais que $||u||_{1,1}$ est la borne supérieure des rapports de la norme 1 des images u(x) par la norme 1 des x, pour x différent de 0, mais je ne vois pas ce que ca représente concrètement...
Et je n'ai également pas trouvé ce que vaut les normes $||u||_{\infty,\infty}$ et $||u||_{1,\infty}$ car avec ma démarche je n'aboutis a rien du tout

Sinon j'aurai voulu montrer que $||u||_{2,2}$ = $\sqrt{\rho(^tA A)}$ avec $\rho$ (A) le rayon spectral de A.
J'ai tout d'abord essayé de montrer que si A est symétrique $||u||_{2,2}$ = $\rho(A)$ pour ensuite utiliser le fait que ( $||u(x)||_2$ )² = < $^t A A x , x$ > mais la aussi

, vos idées seraient les bievenues

merci à tous et à toutes pour vos précieuses aides !!

Posted by: Ptah Sokar

up !

Posted by: fahr451

je t'ai donné une page d'aide détaillée sans un mot de t a part

Posted by: Ptah Sokar

Oui merci beaucoup à toi, j'ai pu voir ce qui n'allait pas, mais ce sur quoi je bute maintenant c'est ca :

Citation:

Posté par Ptah Sokar

j'aurai voulu montrer que $||u||_{2,2}$ = $\sqrt{\rho(^tA A)}$ avec $\rho$ (A) le rayon spectral de A.
J'ai tout d'abord essayé de montrer que si A est symétrique $||u||_{2,2}$ = $\rho(A)$ pour ensuite utiliser le fait que ( $||u(x)||_2$ )² = < $^t A A x , x$ > mais la aussi

, vos idées seraient les bievenues

Et je n'y arrive vraiment pas...

Posted by: fahr451

la norme est la norme 2
pour || X || = 1
|| A X ||^2 = t(AX) AX = tX tAAX

tAA est symétrique positive donc semblable orthogonalement à D diagonale positive

D= diag (d1,...,dn) les di vp de tAA

tAA = tP D P

et || AX || = || t(PX) D PX||

en posant PX = X ' = (x'1,...,x'n) on a || X ' || = 1 (Porthogonale)

|| AX||^2 = sigma di xi'^2 =< max (di) sigma x'i^2 = max (di)

égalité atteinte pour "un bon" X'

Posted by: Ptah Sokar

Oki, je commence à voir la démarche à adopter, mais je ne vois pas d'ou proviens le fait que ||A X||²= t(AX) AX ?

Posted by: fahr451

la norme 2 est définie par

|| X ||^2 = sigma xi^2 = t X X

avec X une colonne et en identifiant un réel avec une matrice de taille 1,1

Posted by: Ptah Sokar

Ouh la je suis vraiment fatigué, je prenais ton sigma pour le rayon spectrale alors que c'est tout simplement la somme, enfin sigma quoi

excuse moi ^^

Sinon merci beaucoup j'ai compris l'ensemble de la démo. !

Posted by: Ptah Sokar

Juste une questrion, peut-être un peu bête, mais j'ai un doute :

Est ce que la somme d'un produit de valeurs absolues est toujours inférieure ou égale au produit de la somme des mêmes valeurs absolues (dans R bien sur) ?

Posted by: fahr451

Citation:

Posté par Ptah Sokar

Juste une questrion, peut-être un peu bête, mais j'ai un doute :

Est ce que la somme d'un produit de valeurs absolues est toujours inférieure ou égale au produit de la somme des mêmes valeurs absolues (dans R bien sur) ?

formalise ce que tu veux dire car je ne comprends pas trop