Mathématiques - Loi normale

Loi normale
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: elenor

Je vous donne l'énoncé d'un exercice que j'ai du mal à faire :

"Une machine met un médicament en sachet dont les poids se répartissent suivant une loi normale autour de la valeur moyenne de 1,20g avec un écart type de 0,06g.
1. Quelle est la probabilité pour que le poids d'un sachet soit compris entre 1,14 et 1,20g?
2.Sur un lot de 2000 sachets, combien y aura t-il de sachets dont le poids est inférieur à 1,11g?"

On nous dit que cela suit la loi normale et la propriété nous permet de connaître une formule pour trouver f(x):

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-m}{\sigma}\right)^2}$

seulement, pour ensuite arriver à calculer F(x), je crois que j'ai du mal, au vu des résultats que j'obtiens.
Je trouve que cette propabilité est d'environ 0,11. Pouvez vous me dire si vous trouvez pareil, ou comment calculer la primitive de f(x).

Pour la deuxième question, je ne sais pas si je dois calculer : F(1,11)-F(0).
D'après ce que j'avais trouvé pour F(x), cela me donne un résultat négatif.............

J'aurais besoin de votre aide...

Merci d'avance,

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par elenor

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-m}{\sigma}\right)^2}$

Je trouve que cette propabilité est d'environ 0,11. Pouvez vous me dire si vous trouvez pareil, ou comment calculer la primitive de f(x).

On sait calculer :
$\Large \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-m}{\sigma}\right)^2} dx$
Ce qui permet d'ailleurs de calculer le coefficient $\Large \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$ à introduire de manière que l'intégrale soit égale à 1. Mais à ma connaissance, on ne sait pas trouver F(x) ! En principe, on consulte des tables...Mais, peut-être quelqu'un d'autre a-t-il une meilleure réponse !
P.S. En outre, dans ton cas tu dois précisément calculer :
$\Large \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\int_{m-\sigma}^{m+\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-m}{\sigma}\right)^2} dx$ qui précisément ne dépend ni de m ni de $\sigma$ (d'où l'emploi des tables).
Plus généralement, la probabilité :
$\Large p(\lambda) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\int_{m}^{m+\lambda\times \sigma}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-m}{\sigma}\right)^2} dx$ ne dépend ni de m, ni de $\Large \sigma$ : ça dépend seulement de $\Large \lambda$ : c'est ce que donnent les tables en question.

Posted by: anima

Perso, pour générer ma table, j'ai approché en zéro la fonction de répartition par un D.L. d'ordre suffisament grand pour couvrir la majorité de la courbe (ordre 7 ou 8 au total), et j'ai ensuite intégré. C'est une approximation, mais ca tient (tres souvent) la route.

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par anima

C'est une approximation, mais ca tient (tres souvent) la route.

Bien sûr ! Cela suffit largement.

De toutes manières, il est clair que le poids d'un sachet ne peut pas avoir pour loi une gaussienne, puisque les valeurs d'une gaussienne varient entre $\Large -\infty$ et $\Large +\infty$ . Donc, dès l'instant que l'on approxime une telle loi de probabilité par une gaussienne, il est inutile de chercher à calculer beaucoup de décimales. Les tables courantes de loi de gauss donnent, je pense un maximum de quatre chiffres significatifs !

Posted by: anima

Citation:

Posté par Quidam

Je ne te raconterai pas le petit "raté" de la semaine derniere lors de la machine d'empaquetage d'amidon: un sac sensé contenir 25 kilos qui en contenait en pratique... 125kilos.
Tout peut arriver; on parle d'erreur humaine.

Posted by: elenor

Merci beaucoup à vous tous de la rapidité à laquelle vous avez répondu...