Mathématiques - Les nombres

Les nombres
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: lapras

Bonsoir,
voila une question me trotte dans la tête depuis quelques temps :
Comment démontrer que le produit de deux nombres de signes négatif est positif ?

Merci d'avance

Lapras

Posted by: Flodelarab

Citation:

Posté par lapras

Bonsoir,
voila une question me trotte dans la tête depuis quelques temps :
Comment démontrer que le produit de deux nombres de signes négatif est positif ?

Merci d'avance

Lapras

Qu'est ce que le signe moins ? Qu'est ce qu'un négatif ?

Le signe moins signifie juste "dans l'autre sens".
Pour un nombre, si on change de sens, on passe de l'autre coté du zéro.

Donc si tu change 2 fois de sens, tu reviens dans le sens de départ

C'est aussi bête que ça.

C vrai pour les nombres, les vecteurs, les qualités etc .......

Posted by: Joker62

Soit x et y deux réel négatifs strictement

Alors -x est strictement positif
-y est strictement positif

Le produit de 2 positifs est positifs donc

(-x)(-y) est strictement positif

Donc - (-x)(-y) = x(-y) = (-y)x est strictement négatif

Donc -(-y)x = yx = xy est strictement positif

C'est space hein ?
Maintenant faut admettre que le produit de deux positifs est positif

Posted by: Flodelarab

Citation:

Posté par Joker62

Soit x et y deux réel négatifs strictement

Alors -x est strictement positif
-y est strictement positif

Le produit de 2 positifs est positifs donc

(-x)(-y) est strictement positif

Donc - (-x)(-y) = x(-y) = (-y)x est strictement négatif

Donc -(-y)x = yx = xy est strictement positif

C'est space hein ?
Maintenant faut admettre que le produit de deux positifs est positif

J'ai pas compris ce qui doit etre spicy .....
Ni ce que ça explique.

Posted by: Joker62

bah j'vais porter plainte contre mon prof d' Analyse de première année lol :D

Posted by: Flodelarab

Il est censé y avoir une incohérence ?

Posted by: lapras

pas mal la démo joker, mais comme tu le dis, il reste à démontrer que le produit de deux positifs est positif.
Ca semble évident, mais pourquoi ?
Un axiome ?

Posted by: Flodelarab

Citation:

Posté par lapras

pas mal la démo joker, mais comme tu le dis, il reste à démontrer que le produit de deux positifs est positif.
Ca semble évident, mais pourquoi ?
Un axiome ?

!!!

Là, j'ai l'impression d'avoir craché en l'air.

Lapras, peux tu me dire ce que tu comprends de la démonstration de Joker ?

Pour moi il applique la définition de l'opérateur unaire "moins" avant de l'avoir défini. Et s'il l'avait défini comme je l'ai défini, alors je ne vois pas l'intérêt de son étude exhaustive de cas.

Posted by: nuage

Salut,
on peut remonter à la définition de $\mathbb{Z}$ :
c'est l'ensemble des classes d'équivalence de $\mathbb{N}^2$ modulo la relation $\mathcal{R}$ définie par $(a,b)\mathcal{R}(c,d)$ ssi $a+d=c+d$ . erreur ici
On défini ensuite le produit par $(a,b)\times (c,d)=(ac+bd,ad+bc)$ .
On montre que cette définition est compatible avec $\mathcal{R}$ et la règle des signes en découle.

Ps : j'ai enseigné ça en 5°, il y a longtemps.

[modification]
$(a,b)\mathcal{R}(c,d)$ ssi $a+d=b+c$ .
Toutes mes excuses pour cete faute de frappe.

Posted by: lapras

Petit probleme de notation nuage :
(a,b)R(c,d) ???

Posted by: nuage

Salut lapras,
j'ai corrigé une erreur ci-dessus.
Mais je ne suis pas certain de bien comprendre ta remarque.
Qu'est ce qui te gêne dans (a,b)R(c,d) ?

Posted by: lapras

je ne connais juste pas la signification des notations

Posted by: SimonB

Citation:

Posté par lapras

je ne connais juste pas la signification des notations

C'est la définition de la relation R (relation qui relie deux éléments de ton ensemble) : x est relié à y si et seulement si...

Des exemples de relations plus courantes que tu as l'habitude de manipuler, je pense : la relation "inférieur ou égal" sur $\mathbb{R}$ , la relation d'inclusion sur des ensembles...

Posted by: nuage

(a,b)R(c,d) signifie que les couples (a,b) et (c,d) sont en relation (ici équivalents).
On démontre (ce n'est pas difficile) que R est une relation d'équivalence
cad que si x, y et z sont des éléments de $\mathbb{N}^2$
$x\mathcal{R}x$ est toujours vrai
$x\mathcal{R}y \Rightarrow y\mathcal{R}x$
$(x\mathcal{R}y \text{ et }y\mathcal{R}z)\Rightarrow x\mathcal{R}z$

Posted by: Joker62

Ree :o
Dans mon cour de L1 c'était pas fait exactement pareil
On créer d'abord une partie P et une partie -P tel que leur intersection soit vide

Mais c'est vrai que le moins tapé n'a aucun sens puisque pas définit.

Posted by: Miya

De façon algébrique, il faut revenir aux définitions...
Z muni de l'addition est un anneau commutatif (pas grave si on ne sait pas ce que c'est).
On montre que pour x et y éléments de Z, (x)(-y) = -(xy) (puisque xy + x(-y) = x(y-y) = 0), et de même que (-x)y = -(xy)
Il s'ensuit que (-x)(-y) = -(-(xy)), c'est à dire que c'est l'opposé de -(xy), donc que -(-xy) + (-xy) = 0 = xy + (-xy) -> (-x)(-y) = xy (d'où l'extraordinaire égalité)

C'est simplement revenir à ce que signifie être l'opposé, et bidouiller les formules :)

Posted by: Arp

A propos du produit de positifs qui est positif :

Montrons que le produit de 2 entiers positifs est positif.

Pour les naturels, rappelons les 5 axiomes (dits Axiomes de Peano) :

1) il existe un entier naturel, que l'on note 0 et qu'on appelle zéro ;
2) tout entier naturel a un unique successeur ;
3) aucun entier n'a 0 pour successeur ;
4) deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux ;
5) si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient les successeurs de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est N tout entier.

L'axiome 2 paraît mal défini, mais c'est un axiome constructif : à partir de 0, on va construire les entiers naturels en prenant à chaque fois un nouvel entier appelé successeur du précédent.
Remarquons que tout entier non nul a un unique prédécesseur d'après les axiomes.

On peut donc définir l'addition :
n+0=n, et si s non nul, on note q son prédécesseur, et alors n+s est le successeur de n+q : c'est une définition récursive.

On peut alors définir la multiplication :
nx0=0, et si nx(s+1)=nxs+n : c'est une définition récursive.

On a alors une relation ~ d'ordre totale, c'est à dire qui peut comparer n'importe quel couple d'éléments (elle correspond à la relation connue "inférieur ou égal"), définie ainsi :

n~p si et seulement si il existe un entier naturel q tel que n+q=p.

On a clairement que 0 est inférieur ou égal à tout entier naturel, c'est à dire que tout entier naturel est positif (on pose ici la définition de positivité, grâce à ~).

Or, par construction, le produit de deux entiers naturels est un entier naturel.
Ainsi, le produit de deux entiers positifs est positif.

Pour étendre cela au produit de réels positifs, il faut regarder la construction de Z à partir de N, puis de Q à partir de Z, puis de R à partir de Q, et de vérifier la compatibilité dans R.

PS : pour Z et Q, on peut voir cela ici -> http://perso.orange.fr/megamaths/cours/ari/cari0005.pdf

pour R, on peut voir cela ici -> http://www.dma.ens.fr/culturemath/m...viaDedekind.pdf