nombres rationnels

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Posted by: abel

Bonjour à tous
Voici un exo apparemment tiré d'olympiade :

- Est-il possible de placer, sur un cercle de rayon 1, 2006 points de sorte à ce que la distance entre 2 points quelconque soit un nombre rationnel ?


Posted by: Flodelarab

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Posté par abel
Bonjour à tous
Voici un exo apparemment tiré d'olympiade :

- Est-il possible de placer, sur un cercle de rayon 1, 2006 points de sorte à ce que la distance entre 2 points quelconque soit un nombre rationnel ?

A mon avis non.

sinon pi serait rationnel


Posted by: anima

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Posté par Flodelarab
A mon avis non.

sinon pi serait rationnel


Il y a un truc non précisé, assez important: la distance en corde, ou la distance sur le cercle? Si c'est la distance en corde, c'est parfaitement possible. Il faudrait faire un 2006-ogramme :P


Posted by: Flodelarab

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Posté par anima
Il y a un truc non précisé, assez important: la distance en corde, ou la distance sur le cercle? Si c'est la distance en corde, c'est parfaitement possible. Il faudrait faire un 2006-ogramme :P

oui un 2006-ogone


Posted by: anima

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Posté par Flodelarab
oui un 2006-ogone


Ah oué pardon. C'est pentagone, pas pentagramme


Posted by: tize

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Posté par anima
Il y a un truc non précisé, assez important: la distance en corde, ou la distance sur le cercle? Si c'est la distance en corde, c'est parfaitement possible. Il faudrait faire un 2006-ogramme :P


Si tu penses à des polygones réguliers, ça me semble faux...ne serait que le triangle equilateral inscrit dans le cercle de rayon 1 à un côté \sqrt{3}
Si tu ne penses pas aux polygones réguliers...je veux bien voir comment tu fais...
Pour l'instant je ne sais pas ...


Posted by: abel

C'est la distance entre les points Ak et Al donc pas la longueur de l'arc. J'aurais du préciser.
Moi je trouve que c'est possible, je pense que mon raisonnement est correct (je n'ai pas la réponse "officielle") mais si qqun me prouve que c'est faux je suis prêt à l'entendre.
Voilà.
Bon courage.

PS : les points doivent être distincts 2 à 2 (sinon ça serait trivial)


Posted by: anima

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Posté par tize
Si tu penses à des polygones réguliers, ça me semble faux...ne serait que le triangle equilateral inscrit dans le cercle de rayon 1 à un côté \sqrt{3}
Si tu ne penses pas aux polygones réguliers...je veux bien voir comment tu fais...
Pour l'instant je ne sais pas ...

J'ai bien une idée mais ca va etre tordu. On a donc un périmetre de mon futur polygone noté A', et le périmetre du cercle noté A. Et x sera mon nombre de points.
Il est admis que plus il y a de points, plus A' tend vers A.
On a donc \lim_{x \to \inf} A' = A
De la, un petit calcul nous donne que 2pi/2006 peut etre encadré par 3/2006 et 4/2006. En alternant les deux valeurs de distance, on obtient un 2006-ogone non régulier, de coté un nombre rationnel a chaque fois. Je dirai meme que 4/2006 = 2/1003. Par contre, cela ne vérifie pas pour tout point quelconque. Juste pour tout point proche. Je bosserai la dessus, ca me tiendra amusé tout le weekend :)










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