Soit p un nombre premier et x un entier quelconque
A t-on:
x et p^a premiers entre eux équivaut à x et p premiers entre eux
Posted by: masterbech
"Jean" <lejano@nospam.fr> a écrit dans le message de news:
42537c32$0$27758$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> Soit p un nombre premier et x un entier quelconque
>
> A t-on:
> x et p^a premiers entre eux équivaut à x et p premiers entre eux
si x et p sont premiers entre eux, notons k = pgcd(x,p^a)
si k<>1 alors il existe un diviseur premier h de k donc un diviseur premier
h de x et p^a.
Puisque p est premier, h divise p^a donc h divise p (lemme de Gauss) et par
construction h divise x donc h divise pgcd(x,p)=1 ce qui est impossible donc
k=1 et x et p^a sont premiers entre eux.
Si x et p^a sont premiers entre eux, tu refais le raisonnement précédent en
remplaçant p^a par p (p=p^1 !!)
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2 isn't odd and it's the oddest prime number
> > Bonjour,
> >
> > Soit p un nombre premier et x un entier quelconque
> >
> > A t-on:
> > x et p^a premiers entre eux équivaut à x et p premiers entre eux
>
> si x et p sont premiers entre eux, notons k = pgcd(x,p^a)
> si k<>1 alors il existe un diviseur premier h de k donc un diviseur
premier
> h de x et p^a.
> Puisque p est premier, h divise p^a donc h divise p (lemme de Gauss) et
par
> construction h divise x donc h divise pgcd(x,p)=1 ce qui est impossible
donc
> k=1 et x et p^a sont premiers entre eux.
>
> Si x et p^a sont premiers entre eux, tu refais le raisonnement précédent
en
> remplaçant p^a par p (p=p^1 !!)
>
A mon avis on n'a pas besoin de p premier
Sens =>
Si x et p^a sont premiers entre eux.
k = pgcd(x,p). k divise p donc k divise p^a.
k divise x et p^a donc k=1
Sens <=
Si x et p sont premiers entre eux.
k=pgcd(x,p^a)
Si k divise p, comme k divise x et que x et p sont premiers entrex eux, k=1
donc k et p sont premiers entre eux
Comme k divise p^a, d'après le théorème de Gauss
k divise p^(a-1) puis p^(a-2) puis... puis p
k divise x et p donc k=1
Corrigez moi si je me trompe
Posted by: Alain Pichereau
On Fri, 8 Apr 2005 17:11:26 +0200, "lecedre" <cedre.sp@hotmail.com>
wrote:
>> > Bonjour,
>> >
>> > Soit p un nombre premier et x un entier quelconque
>> >
>> > A t-on:
>> > x et p^a premiers entre eux équivaut à x et p premiers entre eux
>>
>
>A mon avis on n'a pas besoin de p premier
>
>Sens =>
>Si x et p^a sont premiers entre eux.
>k = pgcd(x,p). k divise p donc k divise p^a.
>k divise x et p^a donc k=1
ok
autre façon Bezout
ux+vp^a=1 donc ux+(vp^(a-1))p=1
>Sens <=
>Si x et p sont premiers entre eux.
>k=pgcd(x,p^a)
>Si k divise p, comme k divise x et que x et p sont premiers entrex eux, k=1
je dirai plutôt si d>0 divise k et p, il divise x et p, donc d=1 et
>donc k et p sont premiers entre eux
>Comme k divise p^a, d'après le théorème de Gauss
>k divise p^(a-1) puis p^(a-2) puis... puis p
>k divise x et p donc k=1
>
et aussi x^b et p^a sont 1er entre eux
>Corrigez moi si je me trompe
>
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