Mathématiques - nombres premiers et carré parfait

nombres premiers et carré parfait
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Posted by: BiZi

Bonjour,

Soient n > 1 un entier et p un nombre premier tel que n divise p-1 et p divise n^3 - 1. Prouver que 4p-3 est un carré.

Posted by: aviateurpilot

merci pour l'exo Bizi,

$p|n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)$ et $n|p-1$
si $p|n-1$ alors $p\le n-1$ et on a $n|p-1$ donc $n+1\le p\le n-1$ absurde
donc $p|n^2+n+1$ (car $p$ premier).
par suite, $\exist (s,k)\in{\mathbb{N}}^*;\ tel\ que\ n^2+n+1=sp\ et\ p=kn+1$

$n^2+n+1=sp=skn+s$ => $n^2+n(1-sk)=s-1$ => $s\equiv 1[n]$
donc si $s\neq 1$ ,alors $s\ge n+1$ => $n^2+n+1=sp\ge (n+1)(n+1)$ absurde
donc $s=1$
et on aura $4p-3=4(n^2+n+1)-3=(2n+1)^2$ qui un carré parfait.

un autre exo stp et merci d'avance.

Posted by: BiZi

Bon, en voici un autre dans la foulée, tiré d'un dossier du tutorat toujours:

Soit p un nombre premier congru à 2 modulo 3. Soient a et b deux entiers tels que p divise a^2 + ab + b^2. Prouver que p divise a et b.

Posted by: aviateurpilot

le probleme est <=> à:

Citation:

Posté par (*)

si $p\equiv 2[p]$ alors l'application $f:\mathbb{Z}/P\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/P\mathbb{Z}\ tel\ que\ f(x)=x^3$ est injective.
autrement dit $card\{ \bar{0^3},\bar{1^3},\bar{2^3},...,\bar{(p-1)^3} \}=p$
(*)

je vais essayer de montrer $(*)$
et par la suite j'aurai le droit d'ecrire

Citation:

$p|a^2+b^2+ab$ => $f(a)\equiv f(b)[p]$ => $a\equiv b[p]$ => $p|3a^2$ => $p|a$ et par la suite $p|b$

Posted by: aviateurpilot

supposant que $(a,b)\in (\mathbb{N}-p\mathbb{N})^2$

$\exist u\in \{1,2,3,...,p-1\}\ tel\ que\ ua\equiv 1[p]$
$p|a^2+ab+b^2$
=> $a^3\equiv b^3[p]$
=> $(ub)^3\equiv (ua)^3[p]\equiv 1[p]$
=> $(ub)^{p-2}\equiv ((ub)^3)^{\frac{p-2}{3}}[p]\equiv 1[p]$
=> $(ub)^{p-1}\equiv ub[p]$
=> $ub\equiv 1[p]\equiv ua[p]$
=> $a\equiv b[p]$
=> $3a^2\equiv a^2+ab+b^2[p]\equiv 0[p]$
=> $a\equiv 0[p]$
absurde.

donc $(a,b)\in (p\mathbb{N})^2$

un autre exo i c'est possible lol

Posted by: musichien

De tête, le dernier exo de ce fameux dossier:
Soit $p>1$ un entier fixé.
$(n_i)_{i\geq 0}$ est une suite de naturels périodique dès le début.
Montrer qu'il existe des suite d'entiers, $(m_i)$ et $(q_i)$ , telles que $0\leq m_i<p$ et $pq_i+m_i=q_{i+1}+n_i$ pour tout $i\in \mathbb{N}$ , $(q_i)$ étant périodique.

ça devrait t'occuper un peu.