nombres parfaits

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Posted by: jeremy58

Bonjour,
J'ai un exercice sur les nombres parfaits et j'ai un soucis sur une question.

x, entier naturel superieur ou egal à 2, est parfait s'il est la somme de ses diviseurs stricts, ie s(x)-x=x ou encore s(x)=2x.
Montrer que si k entier naturel, y entier naturel impair superieur ou egal à 2,
alors s(2^ky)=(2^{k+1}-1)s(y)

J'ai commencé par une récurrence cela ne fonctionne pas bien.
Sinon, j'ai essayé avec le calcul suivant :
s(2^ky)=1+2+2^2+...+2^k+...+2^ky=1+2+2^2+...+2^k+y (1+2+...+2^k)=(1+2+2^2+...+2^k)(y+1)=(2^{k+1}-1)(y+1)
Ayant supposé y impair, alors y+1 est pair amis je n'arrive pas à prouver sue y+1=s(y)
Pourriez-vous m'aider?
Merci


Posted by: yos

Bonjour.
Tu as supposé y premier. Alors qu'il est seulement impair. Par contre ses diviseurs sont tous impairs : y_1,...,y_n. Et donc les diviseurs de 2^k y sont ...


Posted by: jeremy58

Merci de m'avoir repondu aussi vite.
Alors en fait, si on pose y1,y2,..,yn les diviseurs de y, tous impairs
s(2^ky)=1+2+2^2+...+2^k+(1+...+2^k)(y1+y2+...+yn)= (1+2+2^2+...+2^k)(1+y1+y2+...+yn)=(2^{k+1}-1)s(y)
Par contre, il me faut supposer que y1,y2,...,yn differents de 1, sinon on aurait 2 fois 1.
Est-ce que c'est juste?
Merci pour votre aide


Posted by: jeremy58

J'ai une autre question,
je dois programmer sur ma ti la recherche des nombres parfaits entre 2 et 1000. Comme c'est le premier que je fais sur ma calculatrice, je ne dois pas connaitre toutes les commandes et du coup il ne tourne pas du tout.
Pourriez vous m'aider à faire tourner ce programme?

parfait()
Prgm
Local e,d,s
EffES
For d,1,e/2
If e=0 Then
s->s+d
EndIf
EndFor
If s=e Then
Disp e
EndIf
EndFor
EndPrgm

Merci de votre aide


Posted by: yos

Citation:
Posté par jeremy58
Est-ce que c'est juste?

Oui! Pour le programme, je botte en touche.


Posted by: jeremy58

Merci beaucoup. Pour le programme, moi aussi je n'y comprends pas grand chose!
J'ai une nouvelle question, toujours sur les nombres parfaits.
On suppose x parfait pair, on pose avec n>1 et q impair
Montrer que s(q)-q diviseur strict de q.

Alors mon calcul donne :
s(2^{n-1}q)=(2^n-1)s(q)
2^{n-1}q est parfait alors 2.2^{n-1}q=(2^n-1)s(q)
donc 2^nq=(2^n-1)s(q)
donc s(q)=2^n(s(q)-q)
alors s(q)-q | s(q)

Mais je n'arrive pas à trouver que ca divise q!
Merci d'avance pour votre aide


Posted by: yos

Citation:
Posté par jeremy58
s(q)-q | s(q)

et s(q)-q | s(q)-q donc s(q)-q divise la différence s(q)-(s(q)-q)


Posted by: jeremy58

eh oui!!
Ca parait vraiment evident maintenant.
Un grand merci pour votre aide yos.
Merci beaucoup










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