Nombres complexes

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Posted by: Sebounet

Salut,

Je suis toujours sur le même chapitre à savoir les nombres complexes mais certains exercices me bloquent comme celui-ci :
Soit p(z)=z^3 + (6i-5)z + 12 +18i. Chercher une racine de z réelle de l'équation P(z)=0 et en déduire une forme complètement factorisée de P(z).

Donc j'ai fais ceci pour le moment :
p(z)=z^3 + (6i-5)z + 12 +18i = 0
z^3 + z = (-12 -18i) / (6i-5) = -48+162i/61
Je peux aussi dire : z = ((-48+162i/61)-z)^1/3
résultat je bloque
Aucun moyen de prendre le z seul ?


Sur un autre exercice : D= 1+u avec u= cos teta + i sin teta avec teta appartenant à R et n appartenant à N.
Donc ca fait : D = 1 + cos teta + i sin teta = 1+ e^iteta
Cette exercice est "moins" important que le premier car d'après le prof il est normal qu'on bloque mais j'aimerais tout de même essayer, je m'entraine pour le ds.

Merci d'avance ;)
@+


Posted by: khivapia

si tu cherches une racine réelle de p, alors nécessairement la partie imaginaire de p(z) est nulle... et tu la calcules facilement puisque z est réel (donc z^3 l'est aussi...)

quelle est la question du deuxième exercice ? essaye de factoriser par e^(i theta/2), c'est une astuce très courante !

Bonne soirée.


Posted by: Sebounet

Merci pour ta réponse khivapia.

Je vais essayer de cette façon, car en effet racine réelle de z.

Oups, pardon pour l'énoncer : pour le deuxième exercice:, il faut déterminer le module, un argument, les parties réelle et imaginaire.

Je vais essayer avec ca


Posted by: phenomene

Citation:
Posté par Sebounet
Donc j'ai fais ceci pour le moment :
p(z)=z^3 + (6i-5)z + 12 +18i = 0
z^3 + z = (-12 -18i) / (6i-5)

Oulah ! Relis-toi bien...

Citation:
Posté par Sebounet
Je peux aussi dire : z = ((-48+162i/61)-z)^1/3

Non, les exposants fractionnaires n'ont a priori aucun sens pour les nombres complexes. Par exemple, il existe trois nombres complexes dont le cube vaut 1 : 1, \,-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}, et \,-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}. Lequel désigner comme la racine cubique de 1 ? Il n'y a aucune raison d'en choisir un plutôt qu'un autre.

De manière générale, étant donné un nombre complexe w\neq 0, il existe exactement trois nombres complexes z tels que z^3=w et aucune façon intrinsèque de privilégier l'un de ces trois nombres pour l'appeler w^{\frac{1}{3}}.

Allez, ne t'inquiète pas si les nombres complexes te déroutent un peu au début, c'est normal ! On finit par s'habituer...










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