nombre de carré dans un cercle

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Posted by: darkantoine

ceci n'est pas vraiment une énigme mais une petite question que je me suis posée.

Soit un cercle de rayon r. Combien de carré de longueur l, peut-on inserer à l'intérieur du cercle.par exemple si r =1 et L=\sqrt(2) la réponse est 1...

des idées?

(On peut considérer si ça simplifie que r et L sont entiers...)


Posted by: Clembou

Citation:
Posté par darkantoine
ceci n'est pas vraiment une énigme mais une petite question que je me suis posée.

Soit un cercle de rayon r. Combien de carré de longueur l, peut-on inserer à l'intérieur du cercle.par exemple si r =1 et L=\sqrt(2) la réponse est 1...

des idées?

(On peut considérer si ça simplifie que r et L sont entiers...)


C'est une simple résolution d'une inéquation à une variable :
\pi r^2 \ge 4aL
avec r et L, il suffit de connaitre donc a


Posted by: darkantoine

mes carrés ne doivent pas etre tronqués ... ce serait trop simple... ;)

je veux remplir de carré un cercle, en effectuant une sorte de pavage...


et je comprends pas très bien ton équation...


Posted by: buzard

Bonjour,

On peut déjà essayé de trouver un encadrement? Un peu comme avec la quadrature du cercle tu cherche une minoration et une majoration.

Je me place dans le cas simple d'un quadrillage régulier et orthogonal de maille l. on considère que le centre du cercle, correspond a un noeud du maillage

on a A(l,r) <= N(l,r) <= B(l,r)


1°) la minoration

Il suffit de compter le nombre de mailles (carrés de taille l) qui sont entièrement contenue dans le cercle. On calcul pour un cadran, ...

On a donc un pavage en carré de taille l, N(l) est donc forcément supérieur ou égale à ce nombre. (on a laissé des blancs)

2°) la majoration

Cette fois-ci on compte le nombre de mailles qui contiennent entièrement le cercle. On le calcul de la même manière que la minoration ...

Ce pavage excède forcément le pavage idéal que l'on cherche (sa superficie excède celle du cercle, y'a plus de blanc); donc on a une majoration.


3°) quelques mots pour pousser l'encadrement

On peux essayer, d'autre type de pavage mais à mon avis les pavages réguliers sont des bons candidats pour minimiser les espaces vides.

en plus on constate que :

N\left({l,r-l\sqrt{2}}\right) \le A\left({l,r}\right) \le N\left({l,r}\right)\le B\left({l,r}\right) \le N\left({l,r+l\sqrt{2}}\right)

Il est peut-être possible de pousser le raisonnement pour trouver un maillage optimal (en faisant bouger le centre du cercle par exemple), ou au moins un meilleur encadrement de sorte à annuler quelques terme du développement asympotique:

N(l,r) = \frac{\pi r^2}{l^2}+\frac{\alpha}{l}+\beta+O(1)










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