nombre algébrique

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Posted by: fenecman

Voila , j'ai un exercice qui me propose de montrer que :
Soit a un nombre algébrique de degré n, alors il existe c > 0 tel que \forall (p,q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{\star} , \|a - \frac{p}{q}| \ge \frac{c}{q^n}
On pose f(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k et f(a)=0 .
Enfin on pose M= sup_{i=0}^{n-1} | \frac{a_i}{a_n} |.
1) Montrer que si f(x)=0 alors |x| \le M+1 (celle ci c'est bon)
2) En exprimant f(a)-f(p/q) montrer que f(p/q) <> 0 (ça c'est bon ), puis |f(\frac{p}{q})|\ge \frac{1}{q^n} (là ça bloque)

Si quelqu'un peut me dépanner ....
Merci


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par fenecman
Voila , j'ai un exercice qui me propose de montrer que :
Soit a un nombre algébrique de degré n, alors il existe c > 0 tel que \forall (p,q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{\star} , \|a - \frac{p}{q}| \ge \frac{c}{q^n}
On pose f(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k et f(a)=0 .
Enfin on pose M= sup_{i=0}^{n-1} | \frac{a_i}{a_n} |.
1) Montrer que si f(x)=0 alors |x| \le M+1 (celle ci c'est bon)
2) En exprimant f(a)-f(p/q) montrer que f(p/q) <> 0 (ça c'est bon ), puis |f(\frac{p}{q})|\ge \frac{1}{q^n} (là ça bloque)

Si quelqu'un peut me dépanner ....
Merci


Béh c'est tout bête je crois

|f(p/q)| = |(truc entier non null)|/q^n >= 1/q^n

|(truc entier non null)| != 0 donc est >= 1


Posted by: fenecman

Je me fais vraiment peur desfois !!!! J'espère que c'était la fatigue!!
Merci


Posted by: Babe

j'ai l'impression que tu n'est plus un siouxxxx....










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