Mathématiques - Niveau terminale S ++

Niveau terminale S ++
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Posted by: Mikou

Voila je ne sais pas trop ou poster cela, ca ne convient pas a la section cafe maths ny enigme, je propose donc ici un exo pour niveau d'un assez bon terminale, un peu demulation en fait pas de mal hein

Avant tt chose je precise,que comme les differents sujets a venir,celui ci n'est pas de moi mais d'un certain 'Bouzard', merci a lui

Exercice : On définit pour $n \geq 2$

$U_n = \large \prod_{k=2}^n cos(\frac{\pi}{2^n})$

Montrer que la suite u converge.

Maintenant considérons $V_n = U_n \times sin(\frac{\pi}{2^n})$

Montrer que la suite v est géométrique et en déduire le terme général de la suite u

Posted by: nimitz

Soit $U_n = \large \prod_{k=2}^n cos(\frac{\pi}{2^n})$ pour tout $n \geq 2$

$U_{n+1} = U_n \times cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})$

On a:
$\frac{\pi}{2} > \frac{\pi}{2^{k+1}} > 0$
Or sur l'intervalle $[ 0 ; \frac{\pi}{2} ]$ , la fonction cosinus est strictement décroissante, d'où
$cos(0) > cos(\frac{\pi}{2^{k+1}}) > cos(\frac{\pi}{2})$
soit $1 > cos(\frac{\pi}{2^{k+1}}) > 0$
donc $cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})<1$

On en déduit donc que donc $U_{n+1} < U_n$

La suite $(U_n)$ est donc strictement décroissante.

Soit Pn la propriété définie par:
pour tout $n \geq 2$ , $U_n \geq 0$
Initialisation: La propriété est-elle vraie au rang 2 ?
$U_2 = cos(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}/2$
donc $U_2 \geq 0$
Soit h un entier tel que $h \geq 2$ , on suppose Ph vraie : $U_h \geq 0$
$U_h \times cos(\frac{\pi}{2^{h+1}}) \geq 0$ puisque $cos(\frac{\pi}{2^{h+1}}) \geq 0$
D'où $U_{h+1} \geq 0$
Pn est vraie au rang 2, elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n \geq 2$

$(U_n)$ est srtictement décroissante et minorée, donc elle converge.

Posted by: Mikou

c'est juste mais la ligne 'donc $cos(\frac{\pi}{2^{k+1}}) < 1$ est en trop, il faut conclure a partir de la precedante, car il ne faut pas oublier le fait que $cos(\frac{\pi}{2^{k+1}}) > 0$
En effet soit une suite Un definie par U0 et U(n+1) = aUn, ou a <1, peut(on conclure que Un est decroissante ? non par exemple U0=3 et a = -0,5!
Il te reste plus qua traiter la seconde partie du probleme

Posted by: Alpha

Salut,

Personnellement, je suis assez tenté d'écrire $sin 2t = 2 (cos t) (sin t)$
d'où $(cos t) = (sin 2t)/2(sin t)$ .

$t = \pi/(2^k)$ pour $2 \le k$ donne en remplaçant dans l'expression ci-dessus $cos \pi/(2^k) =$ ...
et le télésopage dans le produit donne une expression très simple qui fournit immédiatement la convergence et la limite, sauf erreur (je n'ai rien écrit sur papier).

Cordialement

Posted by: Mikou

alpha c'est astucieu si cela fonction , meme en donnant la forme explicite de Un avec lexercice que je propose la limite n'est pas evidente on tombe sur une forme indeterminée, toi et moi savons comment resoudre cela facilement, chut laisse chercher les autres

Dailleurs si tu es interessé jai posté le sujet darithemetique du cg 2006, sais tu qui a participé sur le forum ? En tout cas pas moi pour une bien sombre raison ...

Posted by: Alpha

Salut, la forme indéteminée est évidente, elle est connue depuis la 1ère! Enfin, c'est vrai qu'il faut penser à diviser et à multiplier par la bonne quantité, mais bon... C'est archi classique quand même!
Sinon pour le concours général je veux pas dire de bêtise mais je crois que Nightmare y a participé.

A+

Posted by: Nightmare

Bonsoir

Eh non, le concour général c'est niveau terminal, je n'ai participé qu'aux olympiades de 1ére.

Posted by: Mikou

ha nightmare l'an prochin .... Sinon alpha je ne vois pas de quoi tu veux parler

Posted by: Alpha

Oui c'est vrai Nightmare, j'ai confondu les deux! Désolé!
Sacré Mikou, tu ne vois pas ce dont je parle

c'est bon ne fait pas la tête j'ai pas donné tant d'indications que ça...

A+

Posted by: Mikou

oui c'est vrai peu de terminal connaissent le nom de telescopage meme si ils lutilisent souvent