Bonjour,
on considère des matrices dans Mn(R) :
Comment montrer que si A et B sont deux matrices nilpotentes qui commutent, pour tout réel x on a :
A+xB nilpotente ? et que si p et q sont deux entiers tels que p+q>n alors ?
merci d'avance
je me doute qu'il faut utiliser le binôme mais je vois pas trop...
Posted by: Rain'
(A+xB) ^(2n-1) ça donne quoi ?
Posted by: Pythix
euh :
Posted by: Rain'
oui (avec les coefficients binomiaux quand même) et en séparant la somme en deux, d'une part k variant de 0 à n-1, d'autre part k variant de n à 2n-1. Y a pas des choses qui s'annullent?
Posted by: Pythix
je ne savais pas comment faire les coefficients...
Posted by: Pythix
pour montrer qu'une matrice strictement triangulaire est nilpotente :
peut on faire une récurrence sur n, le nombre de lignes et de colonnes ?
je ne sais pas si ma récurrence tient la route:
je suppose qu'il existe p tel que pour une matrice A de Mn(R) A^p=0
pour l'hérédité je prends une matrice B de , je l'élève au carré et je dis que l'on se ramène à l'hypotèse de récurrence...
Posted by: Rain'
tu t'y ramènes comment à l'hypothèse de récurrence ?
Posted by: yos
Je fais remonter car je vois que personne n'a évoqué la deuxième question qui est intéressante.
A+xB nilpotente donc , donc . Voilà donc un polynôme en x à coefs dans , identiquement nul.
Posted by: yos
Il y a le résultat classique suivant :
"Si sont nilpotentes et commutent deux à deux alors leur produit est nul."
Je sais le prouver, mais je me demandais si on pouvait le déduire du résultat précédent.
Posted by: Rain'
Hum je vois pas comment on pourrait s'y ramener. Enfin c'"est peut être possible.
Posted by: Jonathan_
Bonjour... Est ce que quelqu'un a une idée pour montrer une réciproque (partielle) de la première question?? je m'explique... il faut montrer que en prenant A et B dans Mn(C) tel que M=A+xB avec M nilpotente pour (n+1) valeurs de x alors on a A et B nilpotentes... j'ai essaye de développer avec le binôme, pour essayer de me ramener a un polynome en B ou en A pour peut être raisonner sur les racines du polynômes mais c'était une mauvaise idée, et à part sa je vois pas trop...
Posted by: fahr451
notons x0,...,xn n+1 ces valeurs
pour i = 0,...,n
on a [A+Bx(i) ]^n = 0
en développant on obtient
sigma k = 0,...,n c(k) x(i)^k = 0
avec c(k) = (k parmi n ) A^(n-k) B^k
est un système n+1, n+1 d'inconnues les c(k) de matrice de van der monde des x(i) , de cramer donc l'unique solution est
pour tout k
c(k) = 0
en particulier c(0) = A^n = 0
et c(n) = B^n = 0
Posted by: Jonathan_
Ok, merci beaucoup, j'avais pas pensé a poser c(k)...
?
, je l'élève au carré et je dis que l'on se ramène à l'hypotèse de récurrence...
, donc 
. Voilà donc un polynôme en x à coefs dans 
, identiquement nul.
sont nilpotentes et commutent deux à deux alors leur produit est nul."