Mathématiques - Natures de 5 intégrales généralisées

Natures de 5 intégrales généralisées
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Posted by: MarieGoli

Les 3 premieres [0,+oo [

1) (2+sinx).dx
2) x^a /(1+x).dx
3) x exp (-x²).dx

Pour la premiere j'ai trouvé 2+sinx > 1>0 , la série ne converge pas, elle diverge donc l'intégrale diverge.

Pour la deuxieme x^a /(1+x) = t^a-1>0 quand t -> +00 donc diverge,l'intégrale diverge.

Posted by: Aspx

J'ai pas très bien compris tes raisonnements...
Il faut montrer que les intégrales partielles des fonctions en valeur absolue sont majorées ou alors trouver des équivalents intégrables en $0$ resp. $+\infty$

Posted by: MarieGoli

Ben pour la premiere je suis partie sur :

/(2+sinx).dx
Soit Un = 2+sinx
VA sin x < 1
Donc 2+sinx > 1
La série Somme Un ne converge pas, elle diverge donc.De plus Somme Un est positive, donc d'après théorème de Comparaison on en déduit que
/(2+sinx).dx diverge sur [0,+oo[ non?

Posted by: Aspx

Euh déjà $U_n = 2+\sin x$ ça me rebute

Non on a $\displaystyle \int_{0}^{A}|2+\sin x|dx > \int_{0}^{A} 1 dx > A$ donc diverge (qd $A\rightarrow +\infty$ )

Posted by: Aspx

Pour la deuxième on a
$\displaystyle \frac{x^a}{1+x} \underset{+\infty}{\sim} \frac{1}{x^{1-a}}$
$\displaystyle \frac{x^a}{1+x} \underset{0+}{\sim} \frac{1}{x^{-a}}$

Converge ssi $1 - a > 1$ et $- a < 1$ i.e pour $- 1 < a < 0$

Pour la dernière les intégrales partielles se calculent explicitement...

Posted by: MarieGoli

Merci pour ton aide.
Pour la troisieme je suis pas sure nonplus...
En 0 on a x exp (-x²)= 0
En +oo on a x exp (-x²)= 0
C'est ca?

Posted by: Aspx

Quel est pour toi la condition d'existence d'une intégrale impropre (ou généralisée) ?

Posted by: MarieGoli

Il faut que f soit continue